Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Попробуйте сделать то же самое из квадратного куска бумаги. ЗАДАЧА № 53 Из лоскутков

У другой сестры милосердия были такие обрезки красной материи, какие изображены на рисунке 43-м.

Сестра ухитрилась, не разрезав этих лоскутьев, сшить из них крест. Как? ЗАДАЧА № 54 Два креста из одного

У третьей сестры милосердия имелся готовый красный крест из материи; но крест был чересчур велик, и она вырезала из него другой, поменьше, так, что новый был весь из одного куска материи.

Когда крест был вырезан, сестра, собирая обрезки, – их оказалось всего 4, – заметила, что из них можно, не разрезая ни одного лоскутка, прямо сшить еще один крест и притом точно такой же величины.

Таким образом, вместо одного креста у нее оказалось два поменьше, одинаковой величины: один цельный, другой составной.

Можете ли вы указать, как сестра это сделала?

Эту фигуру лунного серпа требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямых линии.

Как это сделать?

ЗАДАЧА № 56 Деление запятой

Вы видите здесь широкую запятую (рис. 46).

Она построена очень просто: на прямой АВ описан полукруг и затем на каждой половине линии АВ описаны полукруги – один вправо, другой влево.

Задача состоит в том, чтобы разрезать эту фигуру одной кривой линией на две совершенно одинаковые части.

Фигура эта интересна еще и тем, что из двух таких фигур можно составить круг. Как?

Если вы разрежете картонный куб вдоль ребер так, чтобы его можно было разогнуть и положить всеми 6 квадратами на стол, то получите фигуру вроде трех следующих:

Любопытно сосчитать: сколько различных фигур можно получить таким путем? Другими словами: сколькими способами можно развернуть куб на плоскости?

Предупреждаю нетерпеливого читателя, что различных фигур не менее десяти.

Можете ли вы составить квадрат из 5 кусков бумаги такой формы (рис. 48)?

Если вы догадались, как решить эту задачу, попробуйте составить квадрат из пяти одинаковых треугольников такой же формы, как те, с которыми мы сейчас имели дело (один катет вдвое длиннее другого). Вы можете разрезать один треугольник на две части, но остальные 4 должны итти в дело нерезанными.

ЗАДАЧА № 59 Четыре колодца

На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом близ края участка и один в углу.

Участок перешел к четырем арендаторам, которые и решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы, и чтобы на каждом из них находился колодец.

Можно ли это сделать?

В заключение наших занятий с разрезыванием фигур покажу читателю интересный пример разрезывания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.

На клетчатой бумаге обчерчиваю квадрат, заключающий в себе 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки, где вверху сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата. Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, а правую – буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху – там, где остался незанятый треугольник.

Он приходится сюда как раз впору.

Теперь у нас получается прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7x9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64.

Куда же девался один квадратик?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60

Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной здесь на рисунке.

Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получится флаг уже не с 12 полосами, а с 10-ю. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не убавилось. Решение задачи № 52

Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части следующим образом (пунктиром показано, как она намечала линии разреза: от вершин квадрата к середине сторон). Из этих 4 кусков сестра сшила крест (рисунок 54).

Рис. 54.

Как видите, в нем всего два шва. Решение задачи № 53

Вот как сестра сшила крест из обрезков:

Решение задачи № 54

Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан здесь на чертежах:

Решение задачи № 55

Сделать надо так, как показано на прилагаемом чертеже. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.

Решение задачи № 56

Решение видно из прилагаемого чертежа 58-го. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.

Рисунок 59-й показывает, как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.

Решение задачи № 57

Вот все различные развертки куба (рис. 60). Их 10:

Фигуры 1-ю и 5-ю можно повернуть; это прибавляет еще две развертки, и тогда общее число их будет не 10, а 12. Решение задачи № 58

Решение первой задачи видно из чертежа 61-го.

А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 62). Один предварительно разрезают, как показано на чертеже 62-м внизу.

Решение задачи № 59

Способ размежевания земли между 4-мя арендаторами обозначен сплошными линиями на чертеже (рис. 63).

Участки получаются довольно причудливой формы, – но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковы, и у каждого есть колодец. Решение задачи № 60

Секрет непонятного исчезновения 64-го квадратика открывается сразу, если тщательнее исполнить чертеж.

Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж: вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном чертеже. Те «квадраты», которые расположены вдоль косой линии разреза, совсем не квадраты: каждая из этих фигур по площади немного более соответствующего квадратика, и из суммы этих избытков слагается недостающая площадь будто бы исчезнувшего квадратика. Подтасовка выступит яснее, если разграфить фигуру не на 64 квадратика, а всего на 4x4 = 16 квадратиков. Наоборот, чем на большее число частей разграфлена фигура, тем труднее уловить ошибку.