Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Теперь для удобства обозначим мешки, в порядке их веса, номерами. Самый легкий мешок – это № 1, второй по тяжести – № 2 и т. д.; самый тяжелый мешок – № 5. Нетрудно сообразить, что в ряде чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг – первое число составилось из веса двух самых легких мешков: № 1 и № 2; второе число – из веса № 1 и № 3. Последнее число составилось на веса двух самых тяжелых мешков № 4 и № 5, а предпоследние – из № 3 и № 5. Итак:

№ 1 и № 2 вместе весят 110 кг

№ 1 и № 3 вместе весят 112 кг

№ 3 и № 5 вместе весят 120 кг

№ 4 и № 5 вместе весят 121 кг

Легко узнать, следовательно, сумму весов № 1, № 2, № 4 и № 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка № 3, именно – 58 килограммов.

Дальше, из суммы веса мешков № 1 и № 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка № 3; получается вес мешка № 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.

Точно так же узнаем вес мешка № 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков № 1 к № 2. Получаем: вес мешка № 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.

Из суммы весов мешков № 3 и № 5, т. е. из 120 вычитаем вес мешка № 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок № 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.

Остается определить вес мешка № 4 из суммы № 4 и № 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок № 4 весит 59 кг.

Итак, вот вес мешков:

54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.

Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени вместе вчетверо больше, чем годы Жени. Отсюда прямо следует, что

Надя старше Жени в 3 раза.

Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени вместе есть учетверенный возраст Жени. Следовательно, годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени. То есть:

Алеша старше Жени в 6 раз.

Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна сумме возрастов Володи и Алеши.

Имея перед глазами табличку:

Лиде – 21 год.

Надя – в 3 раза старше Жени,

Володя – в 2 раза старше Жени,

Алеша – в 6раз старше Жени, мы можем сказать, что 21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени.

Или: 21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.

Значит, 21 год = 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21/12 = 1 3/4 года.

Теперь уже легко определить, что Володе 3 1/2 года, Наде – 5 1/4 и Алеше – 10 1/2 лет.

Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, ко – торая может сгореть в 5 часов, и тонкую, которая может сгореть в 4 часа. Заштрихуем те части обеих свечей, которые сгорали, огарки же оставим незаштрихованными. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи должна составлять 5/4 длины сгоревшей части толстой свечи; другими словами, заштрихованный избыток тонкой свечи составляет по длине 1/4 сгоревшей части толстой свечи. Но в то же время длина этого избытка = 3/4 длины толстого огарка. Другими словами, мы узнали, что 3/4 длины толстого огарка равна 1/4 длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, 4/4 его (т. е. весь огарок) составляет 1/4 x 4/3 = 1/3 толстой свечи.

Итак, огарок толстой свечи составляет 1/3 сгоревшей части или 1/4 всей длины свечи. Сгорело, следовательно, 3/4 толстой свечи. А так как вся свеча могла сгореть в 5 часов, то 3/4 ее горело в продолжение (5x3)/4 = 15/4 = 3 3/4 часа.

Ответ: свечи горели 3 3/4 часа.

Каждый ученик или ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самим собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница делали ежедневно столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе делали ежедневно столько поклонов, сколько составится от умножения их общего числа самого на себя.

Итак, мы знаем, что 900 – это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10мальчиков.

Проверим это. Девочки делают подругам 19x20 = 380 поклонов и мальчикам 20x10 = 200 поклонов. Мальчики мальчикам 9x10 = 90, девочкам 10x20 = 200. Итого 380+200+90+200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.

Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще 1/7 остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сын получил столько брильянтов, сколько было всех сыновей. Далее: предыдущий сын получил брильянтов на один меньше, чем было сыновей, да еще 1/7 остальных брильянтов. Значит, то, что получил самый младший, есть 6 седьмых долей этого «остального» (а все «остальное» есть 7 седьмых).

Отсюда вытекает, что число брильянтов самого младшего сына должно делиться на 6 без остатка. Попробуем допустить, что их было 6, и испытаем, подходит ли это число.

Если младший сын получил 6 брильянтов, то, значит, он был шестой сын, и всех сыновей было 6. Пятый сын получил 5 брильянтов + 1/7 от 7, т. е. 5+1 = 6. Далее: 12 камней есть 6/7 оставшегося после четвертого сына; полный остаток – 14 камней, и четвертый сын получил 4+1/7 от 14 = 6.

Вычисляем остаток после третьего сына: 18 есть 6/7 этого остатка: значит, полный остаток – 21. На долю третьего сына досталось 3+1/7 от 21 = 6.

Точно так же узнаем, что на долю второго и первого сына досталось тоже по 6 камней.

Итак, у раджи было 36 брильянтов и 6 сыновей.

ЗАДАЧА № 71

Всюду юг!

Существует шуточный рассказ [4] об одном турке, который будто бы попал однажды в «самую восточную страну». Турок так описывает эту сказочную страну:

«И впереди восток и с боков восток. А запад? Вы, может быть, думаете, что он все-таки виден, как точка какая-нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток! Короче – везде и всюду нескончаемый восток!»

Такой страны, которая со всех сторон окружена востоком, конечно, быть не может. Но зато существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом: во все стороны от этого места простирается «один нескончаемый юг».

Это кажется с первого взгляда невозможным, – а между тем стоит лишь немного подумать, чтобы понять, что такое необычайное место на земном шаре существует.

В этом удивительном месте развевается теперь английский флаг, и я уверен, что вы даже знаете имя человека, который водрузил его.

Где же находится это место?

Чтобы помочь вам догадаться, я прибавлю, что в этом месте вовсе не жарко, даже не тепло, хотя во все стороны оно прямо примыкает к югу.