Яков Перельман - Математика для любознательных

Профессор хотел было уже отложить листок, когда Буркель сказал:

- Если собеседницы наши не запротестуют, я позволю себе задать еще только один вопрос. Мне кажется, что для придуманной тобой библиотеки не хватит места в целом мире.

- Это мы сейчас узнаем, - сказал профессор и снова взялся за карандаш. Сделав выкладки, он объявил:

- Если нашу библиотеку сложить так, чтобы каждые 1000 томов заняли один кубический метр, то целую вселенную, до отдаленнейших туманностей, пришлось бы заполнить такое число раз, которое короче нашего числа томов всего лишь на 60 нулей [32]. Словом, я был прав: никакими средствами невозможно приблизиться к наглядному представлению этого исполинского числа.

Примечание 1. Это поражающее вычисление нередко фигурирует в книгах по теории вероятности. Французский математик Э. Борель в своей известной книге «Случай» придает ему следующую форму:

Предположим, что число знаков, употребляемых в письме, считая также знаки препинания и т. п., равняется 100; книга среднего размера содержит менее миллиона типографских знаков. Спрашивается, какова вероятность вынуть целую книгу, выбирая наудачу по одной букве?

Очевидно, вероятность того, чтобы вынутая буква была первой буквой книги, равна 1/100; она также равна 1/100 для того, чтобы вторая вынутая буква была второй буквой книги; а так как эти две вероятности независимы, то вероятность, что случатся оба события, равна

То же самое рассуждение можно повторить и для третьей буквы, для четвертой и т. д. Если их миллион, то вероятность, что случай даст именно их, равна произведению миллиона множителей, из которых каждый равен одной сотой; оно равно

Примечание 2. В этом расчете нет преувеличения: он вполне точен для тех представлений о размере вселенной, которые господствовали в момент написания рассказа. Интересно повторить вычисление, исходя из современных представлений.

Согласно новейшим исследованиям астронома Кертиса, самые далекие объекты вселенной - спиральные туманности - расположены от нас на расстоянии 10 миллионов световых лет. Световой год, т. е. путь, проходимый светом в течение года, равен, круглым числом, 10 биллионам километров, т. е. 10 13км. Следовательно, радиус видимой вселенной мы можем считать равным

10 13х 10 7= 10 20километров,

или

10 20х 1000 = 10 23метров.

Объем такого шара в кубич. метрах равен

4/ 3(10 23) 3= около 4 x 10 69куб. метров.

Считая по 1000 томов в куб. метре объема, узнаем, что вселенная указанных размеров могла бы вместить только

4 x 10 69x 1000 = 4 х 10 72томов.

Следовательно, разделив все число томов «универсальной библиотеки» на это число, мы сократили бы ряд нулей на 73; разница между этим результатом и приведенным в рассказе, как видим, несущественна.

Поучительно рассмотреть проект видоизменения идеи Лассвица, сущность которого ясна из следующего воображаемого разговора:

- В том виде, какой Лассвиц придал своей идее «универсальной библиотеки», она, конечно, неосуществима. Слишком уж велик размах: перебирать все комбинации из миллиона типографских знаков! Неудивительно, что получаются сверхастрономические числа. Другое дело - если ограничиться гораздо более скромными рамками.

- Например?

- Например, удовольствовавшись комбинациями всего лишь из 1000 литер, среди которых сто различных. Вообразим механизм, который систематически составляет все сочетания, возможные при наборе отрывка в 1000 литер. С каждого сочетания делаются оттиски. Что же мы получим?

- Ясно что: всевозможные образчики вздора и бессмыслицы.

- Да, но в этом море бессмыслицы неизбежно должны оказаться и все осмысленные сочетания литер. Это тоже ясно. Значит, у нас в руках очутятся все литературные отрывки, какие мыслимо написать тысячью литер. А именно: по отдельным страницам, по полустраницам будем мы иметь все, что когда-либо было написано и когда-либо будет написано в прозе и стихах на русском языке и на всех существующих и будущих языках (потому что всякое иностранное слово можно ведь передать буквами русского алфавита). Все романы и рассказы, все научные сочинения и доклады, все журнальные и газетные статьи и известия, все стихотворения, все разговоры, когда-либо веденные всеми населяющими земной шар людьми и всеми прежде жившими (в том числе и наш нынешний разговор с вами), все интимные тайны, когда-либо кем-либо кому-либо доверенные, и все, что еще предстоит придумать, высказать и написать людям будущих поколений по-русски и в переводе на все языки - все это без исключения будет в наших оттисках.

- Бесспорно так. Не забывайте, однако, что мы будем иметь разрозненные, беспорядочно перемешанные отрывки. Придется их еще подобрать и сопоставить.

- Конечно. Будет немало работы по отыскиванию разрозненных частей. Но эта работа сторицей окупится ценностью ее результата. Подумайте: без гениев искусства и науки, чисто механическим путем, мы получим величайшие произведения мировой литературы и науки, овладеем всеми будущими открытиями и изобретениями.

- Но как же это осуществить? Как устроить вашу «литературную машину»?

- Тут-то и сказывается огромное преимущество моего проекта перед проектом Лассвица. Уменьшив число литер в 1000 раз, заменив толстый том одной страничкой малого формата, я достиг технической осуществимости этой замечательной идеи. То, что немыслимо сделать при миллионе литер, вполне возможно выполнить для тысячи.

- А именно?

- Довольно просто. Вообразите шестеренку, на ободе которой помещаются 100 необходимых нам литер. Высота и ширина литеры, скажем для простоты, 2 миллиметра. Окружность шестеренки в 2 х 100, т. е. в 200 миллиметров, имеет диаметр меньше 7 сантиметров. Толщина шестеренки может быть немного шире литеры - ну, пусть в 4 мм. Вообразите 1000 таких шестеренок, насаженных рядом на одну общую ось. Получите вал длиною 4 метра и толщиною 7 см. Шестеренки соединены между собою так, как это делается в нумераторах и в счетных машинах, а именно: при полном повороте первой шестеренки - вторая повертывается на одну литеру, при полном повороте второй - третья повертывается на одну литеру, и так до последней 1000-й шестеренки. Валик покрывается типографской краской и делает оттиски на длинной 4-метровой бумажной полосе. Вот и все устройство «литературной» машины. Как видите, просто и нисколько не громоздко.

- Как же она работает?

- Шестеренки приводятся во вращение, как я уже сказал, последовательно. Сначала начинает вращаться первая и дает на бумаге оттиски своих литер - это первые 100 «литературных произведений» категории бессмысленных. Когда она обернется один раз, она вовлекает во вращение вторую шестеренку: та повертывается на одну литеру и остается в этом положении, пока первая продолжает вращаться; получите еще 100 оттисков, теперь уже из двух букв. После 100 таких оборотов вторая шестеренка повертывается еще на одну литеру, опять обе дают 100 новых оттисков, и т. д. Когда же и вторая сделает полный оборот, присоединяется третья шестеренка и получаются всевозможные оттиски из трех литер. И так далее, пока не дойдет очередь до последней, 1000ной шестеренки. Вы понимаете, что когда эта 1000-ная шестеренка сделает полный оборот, все возможные комбинации в 1000 литер будут исчерпаны и останется лишь работа по разборке оттисков.