Яков Перельман - Математика для любознательных

- Да, - сказал пирожник, - будь у нас еще пяток стульев, я мог бы накормить всю компанию в три очереди, по равному числу ребят в каждой. Надо будет поискать, нельзя ли промыслить здесь пять стульев или табуретов.

- Не беспокойтесь, - ответил заведующий, - я распределю их на четыре очереди, в каждой поровну.

- О, тогда на каждую партию придется еще по три лишних стула.

Сколько было детей и сколько стульев?

- Зайдите ко мне завтра днем на чашку чая, - сказал старый доктор своему молодому знакомому.

- Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время. Встретимся на полпути.

- Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 километра, а вы, молодой человек, проходите, при самом медленном шаге, 4 километра в час. Не грешно бы дать мне немного вперед.

- Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 километр в час, то, чтобы уравнять нас, я и дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?

- Даже очень мило с вашей стороны, - поспешил согласиться старик.

Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 километра в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 километра в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.

Только за чаем сообразил молодой человек, что с льготной четвертью часа вышло не совсем ладно. Он сказал доктору, что из-за этого ему придется в общем итоге пройти вдвое больше, чем доктору.

- Не вдвое, а вчетверо, - возразил доктор, и был прав. Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

Возвратившись из театра, где ставили «Фауста», молодой бакалейщик плотно поужинал и лег спать. Возбуждение и переполненный желудок вызвали у него кошмар.

Приснилось ему, что он стоит за прилавком. На прилавке жестянка с чаем, весы и несколько листов оберточной бумаги. Гирь не было.

«Нечем отвешивать, - подумал бакалейщик. - Если забредет покупатель, придется его как-нибудь сплавить».

В ту же минуту появился Мефистофель в красном плаще, застегнутом огромной пряжкой.

- Отвесьте килограмм чаю! - грозно сказал он.

- Слушаюсь, сию минуту пришлем вам на дом… Славная погодка нынче, не правда ли? Тепло не по сезону.

- Нечего зубы заговаривать! - рявкнул Мефистофель. - Отвешивайте!

- Простите великодушно… Удивительное происшествие… никогда раньше не случалось… Все наши гири сейчас только отправлены в поверку.

- Вот оно что, - сказал Мефистофель. - А как чашки ваших весов: обе протекают или хоть одна может удержать воду?

- Правая сделана ковшиком, и в нее можно налить воды граммов триста или даже побольше. Левая - совсем плоская.

- Вот и отлично, - сказал Мефистофель, вынимая из под плаща бутылочку с водой. - В этой бутылочке (сколько она сама весит, я не знаю) ровно 300 граммов воды. Пряжка моего плаща весит 650 граммов. Берите бутылочку и пряжку и отвесьте мне ровно килограмм чаю. Килограмм чистого веса; бумага не в счет.

- Этого никак невозможно сделать, - начал было бакалейщик.

- Нет, возможно! - крикнул Мефистофель так грозно, что бакалейщик проснулся.

Когда он обдумал свой сон, ему стало ясно, что Мефистофель-то был прав: с 300 граммов воды и пряжкой в 650 граммов совсем нетрудно отвесить в точности 1 килограмм чаю.

Каким образом?

Старый Осип явился на базар с арбузами и начал торговать. Арбузы были как на подбор все одинаковы.

Первый покупатель взял несколько арбузов, за которые торговец спросил по 36 копеек за штуку. Второй также купил несколько штук, за которые торговец взял по 32 копейки за штуку. Третьему покупка обошлась по 24 копейки штука.

Постовой милиционер, все время присматривавшийся к коммерческим оборотам торговца, также пожелал выступить в роли покупателя.

- Цена на арбузы, я вижу, падает, - сказал он. - У вас остался всего один последний арбуз. Что вы хотите за него?

- 48 копеек, - ответил торговец.

- Вот так раз! - с досадой воскликнул милиционер. - Почему это вы берете с меня дороже, чем со всех других?

- Я ни с кого не беру лишнего, - ответил торговец. - На всем базаре не найдете более добросовестного торговца. Для меня все покупатели равны, такое уж у меня правило. Хочу со всех нажить одинаково, много ли покупают или мало.

Сколько арбузов было у торговца?

Учительница задала двум ученицам один и тот же пример на умножение:

1 год 1 мес. 1 1/ 4дня х 36.

Первая девочка умножила сначала на 9, а полученное произведение - на 4. Ответ получился правильный.

Вторая девочка умножила сначала на 4, а потом на 9 и тоже получила правильный ответ.

Учительница оценила обе работы одинаково. Если предполагать, что вторая девочка избрала свой путь решения вполне сознательно, то учительница поступила несправедливо, дав обеим ответам одинаковую оценку. Почему?

1) После того, как мать взяла половину, осталась 1/ 2, после заимствования старшего брата осталась 1/ 4, после отца - 1/ 8, после сестры - 1/ 8x 3/ 5= 3/ 40. Если 30 сантиметров составляют 3/ 40первоначальной длины, то искомая длина равна 30: 3/ 40= 400 сантиметрам или 4 метрам.

2) Пусть часы пробили х. Наличное число очков надо обозначить через 2х. Если их было вдвое больше, т. е. 4х, то это число превышало бы втрое число ударов часов при последующем бое (т. е. х + 1). Следовательно, имеем уравнение 4x/ 3= х + 1, откуда х = 3. Было 3 часа.

3) Обозначим число наличных стульев через х. Тогда число учеников можно выразить двояко: через 3(х + 5) и через 4(x - 3). Оба выражения должны быть равны, откуда имеем уравнение

3 (х + 5) = 4 (х - 3).

Решив его, находим x = 27. Следовательно, стульев было 27, а учеников 3x(27 + 5) = 96.

4) Обозначим расстояние между домами через х. Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е. x/ 2. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е. x/ 4, а молодой человек - остальное, т. е. 3x/ 4. Свою часть пути доктор прошел в x/ 12часов, а молодой человек - в 3x/ 16часов, причем мы знаем, что он был в пути на 1/4 часа дольше, чем доктор. Имеем уравнение:

откуда x = 2,4 километра. Итак, от дома молодого человека до дома доктора - 2,4 километра.

5) Налив 300 граммов воды в чашку весов, отвешиваем этой «водяной гирей» сначала 300 граммов чаю. Затем, положив на одну чашку весов эти 300 граммов чаю, кладем на другую - пряжку, т. е. 650 граммов, и досыпаем на менее нагруженную чашку в отдельный пакет столько чаю, чтобы весы пришли в равновесие, - то есть 350 г. Отвесив еще с помощью пряжки 650 г чаю, имеем 650 г + 350 г = 1000 г, т. е. 1 килограмм.

6) Обозначим себестоимость одного арбуза через х. Тогда чистая прибыль от продажи одного арбуза первой партии равна 36 - х, второй 32 - х, третьей 27 - х, наконец, последнего арбуза 48 - х. Так как чистая прибыль от продажи каждой партии одинакова, то число арбузов в первой партии должно равняться (48-x)/ (36-x), во второй (48-x)/ (32-x), в третьей (48-x)/ (27-x). Все эти выражения, согласно условию задачи, суть целые числа. Надо, следовательно, подобрать для х такое значение, при котором выражения