Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Подобно многим, видевшим справедливость данных утверждений, Фалес также полагал, что очевидность эта интуитивная в смысле видимой «истины». Далее, вполне вероятно, он стал сомневаться в неизбежности столь простых истин в геометрии. Что мы подразумеваем, когда говорим: утверждение о фигуре, составленной из прямых линий, справедливо? Если Фалес и не так формулировал вопрос самому себе или никак его не формулировал, дальнейшее его поведение свидетельствует, что он все-таки сомневался. О действиях Фалеса нам придется судить по записям греческих историков, составивших эти записи много позже того времени, когда Фалеса уже не волновали проблемы прямых линий и окружностей. Историки немногословны, вплоть до неясности, но важно, что именно Фалес ввел абстракцию и доказательства в изучение линий как прямых, так и изогнутых. Доказательство придало значимость справедливости утверждений, как только оно появилось в геометрии. И позволило Платону и его ученикам вообразить, будто они дали смысл доказательству.

Геометрия Египта и Вавилонии еще не оторвалась от своих сугубо утилитарных корней, когда Фалес привез ее в Грецию. Она продолжала в основном заниматься эмпирическими правилами исчисления площадей и объемов.

Предположение о паре равных углов, созданных двумя пересекающимися прямыми линиями, едва ли пришло бы в голову практичным умам, занятым строительством пирамид и рытьем каналов. И все же это предположение часто требуется при доказательстве других предположений, которые ни очевидны, ни бесполезны. Это справедливо и для идеальных абстрактных линий в геометрии, не предназначенных для простых практичных умов, которые не воспринимают их серьезно. В переходе от конкретики чувственного опыта к абстракции идеальных конструкций Фалес совершил прорыв в вечность, опередив своих современников на тысячи лет и целую вселенную.

Вторым его столь же эпохальным деянием стало предположение о том, что некоторые абстракции геометрических фактов, выявленных обычным наблюдением, могут быть выведены из абстракций фактов простейшего уровня, но того же рода. Как утверждают, он «доказал» некоторые из своих теорем «ощутимым», «интуитивным» или «чувственным» методом египтян, говоря: «Я так вижу». Другие же теоремы, и в этом кардинальное отличие для развития науки, математики и философии, он, по описанию, «доказал», или попытался прийти к доказательству «абстрактным», «обобщенным» или «универсальным» методом классических греческих математиков. Вольное толкование последних оправдано обстоятельствами, при которых это было сделано. Адресованы тексты были греческим математикам, жившим много позже Фалеса. Для этих людей греческий метод доказательства означал только прямые дедуктивные рассуждения.

Дабы не воздавать хвалу Фалесу больше, чем он того заслуживает, следует упомянуть, что отдельные историки признают, что он правильно пользовался дедуктивным методом, но не осознал всеобщность процесса: подробное изложение допущений с последующими строго логическими и последовательными выводами. С большей очевидностью, чем сейчас была приведена, подобные выводы не могут быть опровергнуты, как и не могут быть подтверждены. Любой компетентный критик не позволит себе отрицать вклад Фалеса, которому отдают должное за частичное внедрение доказательного процесса в математике. По-настоящему же хвала за развитие полноценного дедуктивного метода воздается отцу западной магии чисел Пифагору. Фалес, скорее всего, был лишен магии и был привержен одному только разуму. Два следующих факта из безвозвратного прошлого могут полностью исчерпать тему его вклада как в математику, так и в философию.

Интерес к первому факту больше исторический. Его значение для развития ранней греческой философии и математики проявится в связи с Зеноном и его несносными парадоксами.

Пирамида Хеопса в Древнем мире считалась чудом из чудес. Подобно всякому греческому путешественнику в Египет, Фалес тщательно изучил этот впечатляющий памятник мумии фараона. Вырождающиеся жрецы демонстрировали пирамиду своему гостю, последнее доказательство утраченной Египтом цивилизации, куда большей, чем грекам суждено когда-либо познать. Если даже колоссальная глыба и внушила благоговейный трепет недавно цивилизованному греку, хотя бы тенью, которую она далеко отбрасывала на пески, он умудрился скрыть свое изумление. К смущению принимающей стороны, Фалес с будничным видом приступил к определению высоты их колоссальной пирамиды. Потрясенные дерзостью непосвященного, священнослужители даже не могли себе представить, как простой смертный без лишних усилий сможет закончить, казалось бы, невыполнимое. Уже сотни веков все головы, им подобные, были столь же пусты, как и череп их мумифицированного фараона. Века, проведенные в бормотании над Книгой мертвых, атрофировали их представления о жизни, а прошлое величие их строителей уже стерлось из памяти. Египет разваливался, Греция стояла на пороге развития.

Существуют две версии того, как Фалес сотворил чудо. Простейшая утверждает, что Фалес измерил тень пирамиды, когда его собственная тень сравнялась с ним по росту.

Все, кто хоть чуть-чуть помнит курс школьной геометрии, поймет, как он получил ответ.

Вторая версия почти повторяет первую. Она напрямую связана с основным выводом одной из самых полезных теорем геометрии. Напомним ее: треугольники ABC, PQR таковы, что внутренние углы А, В, С соответственно равны внутренним углам P, Q, R. АВ – сторона между вершинами А и В. Это означает, что ей соответствует определенное число, определяющее длину стороны, что справедливо и для всех остальных сторон треугольников. Теорема утверждает, что соотношения

равны.

Фалесу приписывают доказательство данной теоремы. Он вполне мог бы доказать ее для треугольников, чьи стороны измеряются общеизвестными целыми числами. И он, весьма вероятно, не смог бы этого сделать, если бы речь шла не о целых числах, поскольку числа, требуемые для измерения сторон, не могли быть придуманы при его жизни.

Открытие Пифагором единственного образца соответствующих чисел стало главным поворотным моментом не столько для математики, сколько для эволюции метафизики. Мы еще отметим это влияние на оба направления, сейчас же мы рассмотрим предполагаемое доказательство Фалеса, и это больше чем простой интерес. Доказательство, устраивающее величайшего математика одного поколения, легко оказывается вызывающе ошибочным или неполным для школьника более поздней формации. В наши дни прилежный ученик средней школы может определить скользкие места в любом доказательстве из тех, что принадлежали Фалесу. И не потому, что он как математик много сильнее, чем Фалес, а потому, что наиболее талантливые математики в истории за три века, последовавшие за эпохой Фалеса, придерживались абстрактного мышления и дедуктивного метода, открытого им.