Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Данное выше определение формул называется индуктивным. Индуктивные определения широко распространены в современной математике, логике, основаниях математики. Они позволяют вполне точно устанавливать, подпадает ли любой данный объект некоторой области под определяемое понятие. Сформулированное выше определение дает возможность установить, является ли любое данное слово нашего алфавита формулой или нет — установить это, «идя обратным ходом» и рано или поздно добираясь до пропозициональных переменных или констант (если слово окажется формулой).

Ознакомимся подробнее с тем, как «работает» данное определение. Докажем, например, что слово (A1 & ~(A2 V A1) не есть формула. Предположим противное: это слово — формула. Тогда знак & мог возникнуть в ней лишь в результате применения пункта (в) определения формулы. Но это значит, что A1 и ~(А2 V А1 должны быть формулами. Однако хотя А1 и есть формула (по пункту (а) определения), слово ~(A2 V A1 формулой не является, ибо для того, чтобы слово, начинающееся со знака ~, было формулой, необходимо, чтобы справа от него стояла формула. Но слово (A2 V A1 не представляет собой формулы, так как оно могло бы быть формулой только по пункту (в), но тогда в нем крайним справа знаком должна была бы быть правая скобка, чего в действительности нет. Таким образом, (А2 V А1 — не формула, а значит, ~(A2 V A1 не формула и, следовательно, исследуемое выражение в целом — не формула. Однако если бы мы рассмотрели, скажем, слово (А1 & (A2 V A1)), то применяя аналогичное рассуждение, убедились бы, что оно является формулой.

III. Равенства.

Если α и β — формулы, то α = β — равенство. Ничто иное равенством не является.

Условимся о сокращении: вместо двух равенств α = β и β = γ разрешается писать просто

α = β = γ («цепочка равенств»)

Аналогично будут пониматься и более длинные цепочки. Так, запись

α = β = γ = δ имеет смысл

α = β, β = γ, γ = δ [5] 37 5. Строгое определение цепочки равенств выглядит следующим образом: а) каждое равенство есть (одночленная) цепочка равенств; б) если Х — цепочка равенств, в которой последней формулой справа является формула φ и φ=χ;, то Х=χ — тоже цепочка равенств: в) Других цепочек равенств, кроме устанавливаемых на основе пп. а) и б), не имеется.

IV. Постулаты.

[а]. Схемы аксиом.

1. (α & β) = (β & α) (закон коммутативности для конъюнкции).

2. (α V β) = (β V α) (закон коммутативности для дизъюнкции).

3. ((α & β) & γ) = (α & (β & γ)) (закон ассоциативности, или сочетательности, для конъюнкции).

4. ((α V β) V γ) = (α V (β V γ)) (закон ассоциативности для дизъюнкции).

5. (α & (β V γ)) = ((α & β) V (α & γ)) (закон дистрибутивности, или распределительности, конъюнкции относительно дизъюнкции).

6. (α V (β & γ)) = ((α V β) & (α V γ)) (закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции).

7. (α & (α V β)) = α (первый закон поглощения).

8. (α V (α & β)) = α (второй закон поглощения).

9. ~(α & β) = (~α V ~β) (первый закон Де Моргана).

10. ~(α V β) = (~α & ~β) (второй закон Де Моргана).

11. (α & α) = α (закон идемпотентности для конъюнкции).

12. (α V α) = α (закон идемпотентности для дизъюнкции).

13. ~~α = α (закон снятия двойного отрицания).

14. (α & 1) = α (закон отбрасывания единицы).

15. (α V 0) = α (закон отбрасывания нуля).

16. (α & ~α) = 0 (закон противоречия, выраженный в форме приравнивания противоречия нулю).

17. (α & ~α)=1 (закон исключенного третьего, выражений в форме равенства).

Перечисленные постулаты [6] 38 6. Этот список постулатов основан на перечне равносильностей алгебры высказываний, приведенных в кн.: П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1973. с. 42. являются не аксиомами, а схемами аксиом. Это значит, что, каждый постулат задает бесконечное множество аксиом определенной структуры. Так, схема аксиом 1 задает аксиомы: (А1 & А2) = (A2 & A1), ((А1 V ~A2) & ~A1) = (~A1 & (A1 V ~A2)) и т.д.; аксиомы — это равенства, принимаемые в качестве исходных.

Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах. Схемы аксиом 3 и 4 выражают ассоциативные законы, подобные ассоциативным законам школьной алгебры, где, как известно, (а • b) • с = а - (b • с) и (а + b) + с = a + (b + с). В школьной алгебре имеется только один дистрибутивный закон — закон дистрибутивности умножения относительно сложения: A • (b + с) = a • b + A • с , так как обычное сложение чисел не дистрибутивно относительно обычного умножения (то есть неверно, что для любых чисел а, b и с

а + (b • с) = (а + b) • (а + с)) .

В данной же системе обе операции, конъюнкция и дизъюнкция, дистрибутивны одна относительно другой (схемы аксиом 5 и 6). Смысл законов Де Моргана [7] 39 7. Название связано с тем, что в математической логике законы 9 и 10 впервые сформулировал Де Морган. Однако соответствующие правила были известны уже средневековым логикам. (схемы аксиом 9 и 10) можно передать фразами: «Отрицание конъюнктивной формулы означает дизъюнкцию отрицаний ее членов»; «Отрицание дизъюнктивной формулы означает конъюнкцию отрицаний ее членов». Смысл схем аксиом, выражающих остальные законы, непосредственно ясен. Заметим лишь, что они служат эффективным средством упрощения формул рассматриваемой формальной системы, то есть построения по данной формуле таких равных ей формул, которые проще, чем исходная (в том смысле, что содержат меньшее число вхождений логических связок); ср. ниже, с. 75—76.

[b]. Правила вывода.

Если верно равенство α = β, то верно и равенство Ф[α] = Ф[β]. Здесь Ф[α] есть произвольная формула, содержащая в качестве своей части, формулу α (аналогично понимается и Ф[β]). Это — правило замены равным (ср. выше с. 42), но «приуроченное» специально к нашему формальному аппарату. Смысл правила состоит в том, что в произвольной формуле Ф[α], в которую входит α, можно α в любом ее вхождении заменить на какую угодно равную ей формулу β и в результате получится формула Ф[β], равная формуле Ф[α] [8] 40 8. Вместо этого «общего» правила замены равным в число постулатов можно было бы ввести более «конкретное» правило: если а = β то (γ & а) = (γ & β). (а & γ) = (β & γ); (γ V а) = (γ V β), (а V γ)-(β V γ)» ~а= ~β. «Общее» правило замены равным оказывается в этом случае производным правилом: его можно обосновать с помощью «конкретного» правила замены равным. .

В дополнение к этому правилу мы будем в процессе переработки равенств пользоваться известными свойствами отношения равенства — рефлексивностью (для любой формулы α справедливо α = α), симметричностью (для любых α и β из α = β следует β = α) и транзитивностью (если α = β и β = γ, то α = γ) [9] 41 9. Обращаем внимание на то, что мы не стремимся к независимости постулатов нашего аппарата. Например, свойство рефлексивности отношения равенства оказывается в данном построении производным от свойств симметричности и транзитивности этого отношения и каждой из схем аксиом 7, 8, 11—15. Со свойствами отношения равенства можно подробнее ознакомиться по кн.: А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948, с. 90 и далее. О философских вопросах, связанных в равенством и отождествлением, см: Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961. . Таким образом, процедуры вывода в данном исчислении представляют собой обычные тождественные преобразования.