Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Но можно задать такое сечение, у которого пограничного числа не окажется. Вот пример фактического построения такого сечения. Левый его класс составляют положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, число нуль и все отрицательные рациональные числа, а правый — все положительные рациональные числа, квадрат которых больше двух. Такое разбиение является сечением: классы не пусты, каждое число левого класса меньше каждого числа правого класса, всякое рациональное число принадлежит либо левому, либо правому классу.

Последнее условие оказывается выполненным потому, что нет такой дроби (рационального числа) p/q,. где p и q — целые и q отлично от нуля, квадрат которой был бы равен двум (доказательство этого факта, восходящее еще к Пифагору, весьма просто; оно приводится во многих учебниках анализа).

Покажем, что у полученного сечения не существует пограничного числа, то есть, что ни в левом классе нет наибольшего числа, ни в правом классе нет наименьшего.

Проведем доказательство лишь первого утверждения, поскольку второе доказывается аналогично. Отсутствие наибольшего числа в левом классе означает, что какое бы положительное рациональное число а, квадрат которого меньше двух, мы ни взяли, существует такое целое число n > 0, что (а + 1/n) 2< 2. Это значит, что рациональное число a + 1/n также будет принадлежать левому классу и, следовательно, A не может считаться наибольшим.

Будем исходить из очевидно верного утверждения, что для любого положительного рационального числа а, квадрат которого меньше двух, существует такое целое положительное число n, что выполняется неравенство

(2a+1)/(2-a 2) < n

Действительно это утверждение может быть получено по аксиоме Архимеда (для любого рационального числа можно найти натуральное число, его превосходящее). Но неравенство(1), как легко установить с помощью простых тождественных преобразований, равносильно неравенству

2a/n + 1/n < 2 - a 2

Поскольку 2a/n + 1/n 2<< 2a/n + 1/n. то верно, что 2a/n + 1/n 2< 2 - a 2, а это неравенство равносильно неравенству (а + 1/n) 2< 2. Утверждение доказано [7] 66 8. Априори возможен еще случай, когда в левом классе есть наибольшее число, а в правом — наименьшее. Однако нетрудно показать, что такой случай противоречит свойствам сечения. .

Теория Дедекивда основана на том, что действительные числа отождествляются с сечениями в области рациональных чисел. Это удается сделать потому, что для сечений оказывается возможным определить операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношения равенства и неравенства. При этом сечения, имеющие пограничные числа, отождествляются с рациональными числами, а сечения, не имеющие пограничных чисел с иррациональными (сечение в рассмотренном нами случае отождествляется с числом √2) [8] 67 9. См. об этом подробнее в кн. В. Н. Молодшего, указанной в примечании 2. .

При ознакомлении с теорией сечений может возникнуть недоумение: как можно определять (действительные) числа через объекты, как будто, совершенно другой природы? Но это недоумение легко снимается. В самом деле, что такое числа? Можно считать, что это — такие сущности, которые могут находиться в определенных отношениях и над которыми можно производить определенные операции, причем эти отношения и операции обладают определенными свойствами (коммутативность, дистрибутивность и т. д.). Сечения как раз и могут находиться в отношениях равенства и неравенства и допускают такие операции над собой, которые обладают нужными свойствами. Определены же сечения, как считал Дедекинд, абсолютно четко и логично — они введены на основе рациональных чисел, по поводу которых никаких сомнений у математиков не возникает.

Подход Дедекинда был заметным шагом вперед в уяснении «природы» математического анализа. Он позволил создать стройную теорию действительных чисел, в частности, доказать важную теорему о свойстве сплошности (непрерывности) множества действительных чисел, на которую опираются все главные теоремы анализа. Теория Дедекинда была основана, однако, на идее, которая впоследствии оказалась уязвимой для критики, на идее актуально бесконечного множества. К ее рассмотрению нам теперь и следует обратиться.

В теории Вейерштрасса иррациональные числа понижаются как бесконечные непериодические дроби, то есть Ограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении В теории Дедекинда всякое действительное число — это «компактная» система из двух объектов: левого и правого классов сечения во множестве рациональных чисел. И все же и в этой теории фатальный призрак трудностей, связанна с идеей бесконечности, призрак, преследующий математику с античных времен [9], не изгоняется, а лишь маскируется под нечто «конечнообразное»: ведь множества, образующие левый и правый классы, бесконечны.

Дедекиндово построение хорошо раскрывает нам образ мышления, который был присущ нескольким поколениям ученых. Всмотримся пристальнее в ход рассуждений, ведущих к определению действительного числа по Дедекинду. В нем можно усмотреть два пункта, уязвимых для критики.

Пункт первый. Каждый из двух классов сечения мыслится как единый объект, как нечто данное сразу и целиком. Но ведь бесконечное множество нельзя за конечное время перебрать «поэлементно», и его задание - «эффективное» задание, то есть такое, при котором с ним можно «фактически» работать, требует указания метода установления того, что произвольный элемент принадлежит или не принадлежит данному множеству. Иногда такой метод, однако, может приводить к выкладкам, которые нельзя реально осуществить. Именно так обстоит дело в теории Дедекинда, которая предполагает, что для любого сечения мы умеем ответить на вопрос, к какому из двух его классов — левому или правому — принадлежит произвольное рациональное число.

Проиллюстрируем возникающую здесь ситуацию на примере. Как, скажем, может производиться разбиений области рациональных чисел, дающее сечение для числа е . Заметим предварительно, что при вычислении этого числа с наперед заданной точностью пользуются его представлением в виде ряда

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ...

Предположим что задано рациональное число R1 = 2,7182 и нужно отнести его к левому или правому классу. Для этого мы должны будем вычислить е с точностью, дающей не менее пяти знаков после запятой, что означает взятие в приведенном ряде девяти слагаемых. Суммирование их дает число 2,71828. Сравнивая R1 с этим числом, мы приходим к заключению, что R1 принадлежит к левому классу, поскольку к этому классу принадлежит любое конечное приближений числа е , найденное с помощью приведенного выше ряда (оно всегда меньше e , так как при прибавлении новых членов ряда мы только увеличиваем сумму). Легко сообразить, что если проверяемые числа будут достаточно "длинными"), фактическое осуществление подобной проверки станет невозможным не только для человека, но и для ЭВМ. Но это еще не все. Данный пример показывает, что для «фактического» осуществления разбиения, то есть «точного» выяснения вопроса, что же представляет собой сечение для е , нужно «пробежаться по бесконечности» — произвести неограниченно большое число процедур получения все возрастающих сумм указанного ряда.