Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Здесь мы должны, наконец, сказать об Аристотеле. В чем состоял его вклад, если логические схемы — правила рассуждений (во многом, во всяком случае) — были выделены до него? Прежде всего в том, что он их систематически описал в серии трудов, составляющих знаменитый «Органон» [9] 12 9. В переводе с греческого «органон» означает орудие (метод) исследования; под этим названием комментаторы Аристотеля объединили пять его сочинений по логике и методам научного познания: «Категории» (русск. перев. 1939 г.) «Об истолковании» (русск. дерев. 1891 г.), «Аналитики первая и вторая» (русск. перев. 1952 г.), «Топика» и «Опровержение софистических аргументов». . В важнейшем из этих трудов — «Первой аналитике» — была изложена силлогистика (система силлогистических умозаключений, или силлогизмов) — главное достижение Аристотеля в логике, от которого идет теория логики, то есть логика как наука.

Приведем один из аристотелевских силлогизмов: «если А приписывается всем Б, а Б — всем В, то А необходимо приписывается всем В», например, если свойство быть живым существом (А) приписывается всем двуногим существам (Б), а свойство двуногости (Б) приписывается всем людям (В), то свойство быть живым существом (А) необходимо приписывается всем людям (В) [10] 13 10. Аристотель. Аналитики первая и вторая. [М.], 1952, с. 14—15 (см. также примечения к русскому переводу с. 293). . Это силлогистическое умозаключение — самая знаменитая форма (модус) силлогизмов: Barbara (латинские названия модусов были придуманы в средние века). Следует обратить внимание на то, что Аристотель выделяет именно форму: силлогизм Barbara — то, что нами выделено разрядкой, это схема умозаключения (дедуктивного вывода, дедукции), а рассуждение, приведенное вслед за этой схемой, есть только примерее применения.

Здесь мы ясно видим тот гигантский шаг вперед, который делает Аристотель по сравнению с Платоном: у Платона логические правила функционируют только в конкретных рассуждениях, Аристотель же отделяет их от содержания и делает предметом специального исследования. Именно, Аристотель, используя специальную терминологию, создает систему силлогизмов, охватывающую все правильные силлогистические умозаключения, то есть правила силлогистического вывода, позволяющие получать из верных посылок с необходимостью из них вытекающие верные заключения.

Силлогистика была главным достижением Аристотеля в логике, достижением, принадлежавшим, как можно полагать, ему лично. Она развертывается как аксиоматическая система — о такого рода построении мы будем подробно говорить в последующих главах — и (что самое поразительное!) удовлетворяет, по существу, критериям математической строгости, предъявляемым к современным формализованным системам. Она, таким образом, была более строгой, чем все математические теории античности, например, строже, чем знаменитые «Начала» Эвклида. Известный польский логик XX века Ян Лукасевич говорил по этому поводу: «Силлогистика Аристотеля является системой, точность которой превосходит даже точность математической теории, и в этом ее непреходящее значение» [11] 14 11. Я. Лукасевич. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Перев. с англ. М, 1959, с. 189, Ян Лукасевич в данной книге (вышедшей на англ. языке в 1951 г.) систематически исследовал силлогистику Аристотеля с позиций современной математической логики. . Удивительно, что этой точности Аристотель достиг, не используя специальную символику, а прибегая лишь к стандартизации обычного (греческого) языка, то есть опираясь в изложении системы на термины с четким смыслом да оперируя буквами греческого алфавита в качестве переменных для тех понятий («живое существо», «двуногое» и т. п.), которые появляются при применениях силлогистических форм.

Следует, правда, отдавать себе отчет в том, что построить такую строгую логическую систему — первую формальную систему в истории наук и, не прибегая к специальному языку знаков, Аристотель смог потому, что его силлогистика описывает лишь часть, причем очень простую, тех логических закономерностей, которым подчиняется мышление и язык. Тем не менее Аристотелева логика [12] 15 12. Аристотель создал не только силлогистику — в его трудах мы находим исследование дедуктивного метода (о котором речь пойдет в дальнейшем), логических модальностей (им изучалась логика рассуждений, в которых существенную роль играют модальные выражения «необходимо, что...», «возможно, что...», «невозможно» что...» и т. п.), определений, простейших обобщающих (индуктивных) умозаключений, аналогии, логических ошибок и до. , как теперь все более начинают осознавать историки математики, оказала большое влияние на древнегреческую математическую мысль. Есть указания на то, что дедуктивный способ построения эллинской геометрии, знаменовавший собой один из важнейших ранних этапов развития математики и оказавший неизмеримое влияние на всю последующую науку (Декарт считал математику образцом для всех наук, Спиноза построил свой знаменитый философский тракт «Этика» по типу «Начал» Эвклида и пр.), не породил аристотелеву логику, как об этом часто писали, а был порожден развитием логики, в одном из своих фрагментов получившей столь завершенную трактовку у Аристотеля. Много раньше, чем цепочки безукоризненных по форме силлогизмов, начинающихся на недоказываемых положениях и кончающихся на утверждениях доказываемых, стали относиться к линиям и фигурам, они широко использовались в применении к самым различным объектам в бесчисленных словесных «упражнениях», подобных тем, к которым призывал Сократа Парменид. Вот что говорит об этом наш современник венгерский математик и логик Ласло Кальмар: «Большинство математиков, включая некоторых историков математики, считают, что дедуктивный способ вывода фактически был изобретен математиками. Однако А. Сабо установил факт сильнейшего влияния элейской диалектической философии на древнегреческую математику, показав, что многие математические понятия, особенно те, которые относятся к дедуктивному методу, берут свое начало в диалектике элеатов... Таким образом, дедуктивный вывод, по-видимому, до математики изобрела философия» [13] 16 13. L. Falmar. Foundations of Mathematics, wether now? - "Problems of the Philosophy of Mathematics" (Proceedings of the International Colloquiumin the Philosophy of Science, London, 1965, vol.1) Amsterdam, 1967, p.188. Из работ А. Сабо, обосновывающих этот тезис, укажем: А. Сабо. О превращении математики в дедуктивную науку и начале ее обоснования.— В кн.: Историко-математические исследования. Вып. XII. М., 1959. .

Нет сомнений относительно влияния, которое оказала логика — и особенно логика Аристотеля, создавшего не только силлогистику, но и заложившего основы общей теории аксиоматического (дедуктивного) метода (он изложил их во «Второй аналитике»), — на математику [14] 17 14. О влиянии логико-методологических идей Аристотеля на древнегреческую математику см. С. А. Яновская. Из истории аксиоматики.— В кн.: С. А. Яновская. Методологические проблемы науки. М., 1972. . Таким образом, современный синтез математики и логики начал подготовляться еще в античную пору.