Жуан Гомес - Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

Правильный ответ был получен лишь через 17 лет. Он стал результатом сотрудничества более чем 600 человек. Ключами оказались р = 32769132993266 709549961988190834461413177642967992942539798288533 и q = 3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577, а зашифрованная фраза звучала так: «Волшебные слова — это брезгливый ягнятник».

Алгоритм, представленный Гарднером, известен как RSA — буквенная аббревиатура от фамилий Rivest (Ривест), Shamir (Шамир) и Adleman (Адлеман). Это первое практическое применение придуманной Диффи системы шифрования с открытым ключом, которая повсеместно используется и по сей день. Надежность ее практически гарантирована, потому что процесс расшифровки является невероятно сложным, почти невозможным делом. Далее мы рассмотрим основы этой системы в упрощенной форме.

Подробнее об алгоритме RSA

Алгоритм RSA основан на некоторых свойствах простых чисел, о которых заинтересованный читатель может подробнее прочитать в Приложении. Мы ограничимся здесь изложением простых фактов, лежащих в основе алгоритма.

• Количество натуральных чисел, меньших nи взаимно простых с n, называется функцией Эйлера и обозначается как ф(n).

• Если n= p∙q, где ри q— простые числа, то ф(n)= (р— 1)(q— 1).

• Из малой теоремы Ферма мы знаем, что если а— целое число, большее нуля, и р— простое число, то а р-1 1 (mod р).

• Согласно теореме Эйлера, если НОД ( n, а) = 1, то а ф(n) 1 (mod n).

Как уже упоминалось, система шифрования называется «с открытым ключом», потому что ключ шифрования доступен любому отправителю, желающему передавать сообщения. Каждый получатель имеет свой открытый ключ. Сообщения всегда передаются в виде цифр, будь то ASCII-коды или какая-либо другая система.

Сначала Джеймс вычисляет значение n путем умножения двух простых чисел ри q (n= pq)и выбирает значение е так, чтобы НОД ( ф(n), е) = 1. Напомним, что ф(n)= (р— 1)(q— 1).Данные, которые являются открытыми, — это значение nи значение е(ни при каких обстоятельствах нельзя выдавать значения ри q ). Пара ( n, е) является открытым ключом системы, а значения ри qназываются RSА-числами. Затем Джеймс вычисляет единственное значение d по модулю ф(n), которое удовлетворяет условию d∙ е= 1, то есть dявляется обратным элементом к числу епо модулю ф(n). Мы знаем, что обратный элемент существует, потому что НОД ( ф(n), е) = 1. Это число dявляется закрытым ключом системы. Со своей стороны, Питер использует открытый ключ ( n, е) для шифрования сообщения Мс помощью функции М= m e(mod n).Получив сообщение, Джеймс вычисляет M d= (m e) d(mod n),а это выражение эквивалентно M d= (m e) d= m (mod n),что свидетельствует о возможности расшифровать сообщение.

Теперь мы применим эту процедуру к конкретным числовым значениям.

Если р= 3 и q= 11, получим n= 33. Тогда ф(33) = (3–1)∙(11—1) = 20.

Джеймс выбирает е, не имеющее общего делителя с 20, например, е= 7. Открытый ключ Джеймса (33,7).

• Джеймс также вычислил закрытый ключ d, который является обратным элементом к числу 7 по модулю 20, а именно число d = 3, так как 7∙3 1 (mod 20).

• Питер, имея открытый ключ, хочет отправить нам сообщение «9». Чтобы зашифровать это сообщение, он использует открытый ключ Джеймса и вычисляет:

9 7 = 4 782969 15 (mod 33).

Зашифрованное сообщение имеет вид «15». Питер посылает его нам.

Джеймс получает сообщение «15» и расшифровывает его следующим образом:

15 3 = 3375 9 (mod 33).

Сообщение расшифровано правильно.

Если мы выбираем большие простые числа р, q, то вычисления в алгоритме RSA становятся такими сложными, что нам придется использовать компьютер. Например, если р= 23 и q= 17, то n= 391. Открытым ключом при выбранном е= 3 будет пара (391,3). Тогда d= 235. Для простого сообщения «34» операция расшифровки будет выглядеть так:

204 235 34 (mod 391).

Обратите внимание на степень числа и представьте себе гигантское количество расчетов, необходимых для нахождения этого решения.

Почему мы можем доверять алгоритму RSA

Потенциальный шпион располагает значениями nи е, потому что они являются открытыми. Чтобы расшифровать сообщение, ему нужно также значение d, т. е. закрытый ключ. Как мы показали в предыдущем примере, значение dполучается из nи е. Чем же обусловлена безопасность? Напомним, что для построениям/ необходимо знать ф(n)= (р— 1)(q— 1),в частности, ри q. Для этого «достаточно» разложить nна простые множители ри q. Проблема для шпиона заключается в том, что разложение большого числа на простые множители является медленным и трудоемким процессом. Если nдостаточно большое (состоящее более чем из 100 цифр), не существует известных способов нахождения ри qза разумное количество времени. В настоящее время простые числа, используемые для шифрования чрезвычайно конфиденциальных сообщений, состоят более чем из 200 цифр.

Алгоритм RSA требует много машинного времени и очень мощных процессоров.

До 1980-х гг. только правительства, армия и крупные предприятия имели достаточно мощные компьютеры для работы с RSA. В результате у них была фактически монополия на эффективное шифрование. Летом 1991 г. Филипп Циммерман, американский физик и борец за сохранение конфиденциальности, предложил бесплатную систему шифрования PGP ( Pretty Good Privacy — «достаточно хорошая степень конфиденциальности»), алгоритм которой мог работать на домашних компьютерах.

PGP использует классическое симметричное шифрование, что и обеспечивает ей большую скорость на домашних компьютерах, но она шифрует ключи по асимметричному алгоритму RSA.

Циммерман объяснил причины этой меры в открытом письме, которое заслуживает быть процитированным здесь, по крайней мере, частично из-за пророческого описания того, как мы живем, работаем и общаемся два десятилетия спустя.

«Это личное. Это конфиденциальное. И это только ваше дело и ничье другое.

Вы можете планировать политическую кампанию, обсуждать ваши налоги или иметь тайную любовную связь. Или вы можете заниматься тем, что вам не кажется незаконным, хотя таковым является. Что бы то ни было, вы не хотите, чтобы ваши личные электронные письма или конфиденциальные документы были прочитаны кем-то еще. Нет ничего плохого в том, чтобы охранять вашу частную жизнь. Частная жизнь неприкосновенна, как Конституция…