Рауль Ибаньес - Мир математики: т.6 Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?

В общем случае координаты точки в n-мерном пространстве задаются кортежем (набором) из nчисел ( х 1…, x n), где n— размерность пространства. Таким образом, каждая точка пространства является кортежем ( х 1…, x n), а n-мерное координатное пространство состоит из всевозможных кортежей. В математических символах это записывается так:

Во многих отраслях науки и техники различные данные представляют собой наборы числовых значений, поэтому, применяя понятие координатного пространства к этим кортежам чисел, мы можем использовать геометрические инструменты для организации, локализации и обработки информации. Таким образом мы получаем возможность делать полезные заключения. Можно привести разнообразные примеры, такие как результаты медицинских анализов крови (количество в крови натрия, калия, глюкозы, холестерина и других соединений). Эти результаты представляют собой кортеж из nчисел, где nобозначает количество проведенных клинических испытаний. Другими примерами могут выступать списки групп студентов, результаты спортивных соревнований и так далее.

* * *

ОБЫЧНОЕ РАССТОЯНИЕ

Понятие координатного пространства предполагает существование фиксированного расстояния между двумя точками в этом пространстве, так называемого обычного расстояния. Например, для двух точек р = (x 1, х 2, х 3)и q = (y 1, у 2, у 3)в трехмерном координатном пространстве R 3обычное расстояние задается выражением

что делает наш мир трехмерным евклидовым пространством. Именно это расстояние мы используем в нашей повседневной жизни. Конечно, это понятие расстояния легко обобщается на n-мерное координатное пространство.

Расстояние ( С) между двумя точками ( x 1, y 1) и ( х 2, у 2) на плоскости определяется по теореме Пифагора, так как Сявляется гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами А= у 2— у 1и В= х 2 — х 1

Несмотря на кажущуюся простоту этих идей, потребовалось много времени, чтобы привыкнуть к ним и начать применять их на практике. Математики, другие ученые и философы вели жаркие споры о смысле и реальности пространств более высокой размерности. Например, в «Началах» Евклида определяется, что точка не имеет размерности, прямая линия имеет одну размерность (длину), плоскость — два измерения (длину и ширину), а тело в пространстве — три измерения (длину, ширину и высоту). Но Аристотель в своей работе «О небе» утверждал, что четырехмерного пространства не существует: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и кроме них нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения, и величина, которая делима в трех измерениях, делима во всех измерениях».

Клавдий Птолемей (ок. 100–170 н. э.) в своей работе «О расстоянии» впервые доказал, что четвертого измерения не существует. К сожалению, эта книга не сохранилась до наших дней, мы знаем о ней благодаря греческому математику и философу Симпликию Киликийскому (490–560). Фактически Птолемей говорил, что если рассмотреть три перпендикулярные прямые, то невозможно провести четвертую прямую, перпендикулярную к трем другим. Таким образом, четвертого измерения не существует. Однако Птолемей лишь доказывает, что невозможно воспроизвести четыре измерения в нашем трехмерном пространстве.

Позже, при попытке дать геометрическую интерпретацию алгебраических уравнений, возникла идея, что могут существовать пространства более высоких размерностей, но некоторые математики отзывались об этой возможности как о «неестественной». Английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей работе «Алгебра» назвал четвертое измерение «чудовищем, возможным в природе не более, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может существовать наряду с этими тремя».

Были и те, кто пытался принять существование четвертого измерения на духовном уровне. Например, английский философ Генри Мор (1614–1687) утверждал, что души имеют четыре измерения. Эта идея, как мы увидим в пятой главе, стала очень популярной. В этой связи немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) писал: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум… Если возможно, чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то весьма вероятно, что Бог где-то их действительно разместил. Поэтому подобные пространства вовсе не принадлежали бы к нашему миру, они должны были бы составлять особые миры».

В одной из своих работ Кант утверждал, что левая рука является зеркальным отражением правой и что мы не можем идеально совместить руку с ее отражением. Однако Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868) впервые заметил, что при вращении правой руки в гипотетическом четырехмерном пространстве она может стать своим зеркальным отражением — левой рукой, вернувшись в трехмерное пространство.

Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими размерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геометрии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.

В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического и математического пространства, но не углублялись в детали.

Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырехмерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным пространством имеется в виду наблюдаемый физический мир.