Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

= 80 343

= восемь десятков тысяч, ноль тысяч, три сотни, четыре десятка и три единицы

= 8∙10 4 + 0∙10 3+ 3∙10 2+ 4∙10 1+ 3∙10 0.

Греки, подобно китайцам, использовали в качестве цифр буквы, однако их система счисления не была позиционной, что усложняло запись чисел и развитие алгоритмов вычислений. По этой причине древние греки не очень преуспели в науке о числах — арифметике, однако добились огромных успехов в геометрии.

Аристотель (384–322 годы до н. э.) понимал слово «экономия» как управление домашним хозяйством, а науку, которую мы сегодня называем экономикой, называл по-гречески хрематистикой. Он не занимался подробным анализом экономических вопросов и не изучал взаимосвязь между переменными, однако рассмотрел такие понятия, как стоимость, деньги и проценты.

Аристотель рассматривал экономику прежде всего с точки зрения этики и первым выделил различные методы управления предприятием и домашним хозяйством.

Он говорил о потребительской и меновой стоимости, деньгах и богатстве и проанализировал две функции денег: как меры стоимости и как средства обращения товаров. Отрицательное отношение Аристотеля к ростовщичеству сохранилось до Нового времени и легло в основу доктрины католической церкви. Ученый рассуждал и на другие экономические темы, например о частной собственности и рабстве, и его идеи оказали большое влияние на исламскую этику.

Римляне не внесли в греческую систему счисления существенных изменений.

Они использовали для обозначения чисел буквы М, D, C, L, X, V и I, а большие числа обозначали горизонтальной чертой над этими буквами. Естественно, римлян ожидали те же трудности, что и греков: нетрудно представить, насколько сложно записать в римской системе счисления действительно большое число, например миллион, или выполнить с числами различные действия.

Именно поэтому когда в VIII веке арабы через Андалусию принесли в Европу индийскую систему счисления, все, кто занимался расчетами, сразу же начали использовать индийские цифры, а римская система счисления окончательно отошла в прошлое.

* * *

ОСНОВАНИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Сегодня почти не верится, что раньше люди вели все подсчеты только на пальцах рук, однако именно на этом основана современная система счисления, которую мы используем каждый день — позиционная десятичная. Однако эта система не универсальна — ее не используют самые быстрые и точные устройства для вычислений — компьютеры. Какие же системы счисления применялись в прошлом и какие — используются сейчас?

Десятичная система счисления

— Десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

— Выражение: 72 603 10= 7∙10 4 + 2∙10 3+ 6∙10 2+ 0∙10 1+ 3∙10 0.

Используется в повседневной жизни с древних времен.

Шестнадцатеричная система

— 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

— Выражение: 72 603 10 = 11В9В 16= 1∙16 4+ 1∙16 3+ 11∙16 2+ 9∙16 1+ 11∙16 0.

— Используется в электронике.

Двоичная система

— Две цифры: 0, 1.

— Выражение: 72 603 10= 10001101110011011 2= 1∙216 + 0∙215 + 0∙214 + 0∙213 + 1∙21 2+ 1∙ 2 11+ 0∙2 10+ 1∙2 9+ 1∙2 8+ 1∙2 7+ 0∙2 6+ 0∙2 5+ 1∙2 4+ 1∙2 3+ 0∙2 2 + 1∙2 1 + 1∙2 0.

— Используется в компьютерной технике.

Двадцатеричная система счисления

∙ Двадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J.

∙ Выражение: 72 603 10= 91А3 20 = 9 ∙ 20 3 + 1∙20 2+ 10∙20 1+ 3∙20 0.

∙ Применялась майя и шумерами, для записи использовались особые знаки.

Напомним, что на протяжении веков в разных культурах бытовали совершенно разные единицы измерения величин (веса, длины, объемов, денег), которые довольно часто были тесно связаны с применяемой системой счисления. Однако если при измерении величин и записи чисел в качестве основания используется одно и то же число, то вычисления, без которых невозможна экономика, становятся гораздо проще. Например, в десятичной метрической системе для обозначения кратных единиц измерения применяются десятичные приставки, а для записи величин также используется система счисления по основанию 10 (пример: 2,547 метра — это 2 метра 5 дециметров 4 сантиметра и 7 миллиметров).

УМНОЖЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В НАШИ ДНИ

Последовательности вычислений, направленные на получение результатов арифметических действий, называются алгоритмами. За всю историю человечества алгоритмы невероятно усложнялись и постепенно становились все более совершенными. В таблицах ниже представлены два алгоритма умножения на примере чисел 2409 и 94, которые использовались в разные эпохи.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовали древние египтяне (3600 год дон. э.)

2409 94

(1204 188)

(602 376)

301 752

(150 1504)

75 3008

37 6016

(18 12032)

9 24064

(4 48128)

(2 96256)

1 192512

= 94 + 752 + 3008 + 6016 + 24 064 + 192 512 = 226 446.

Первый множитель (2409) последовательно делится на два, пока результат деления не станет равен единице. Одновременно с этим второй множитель (94) столько же раз умножается на два. Результатом умножения является сумма чисел в правом столбце, которым соответствуют нечетные числа в левом столбце.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовался в компьютерах середины XX века

Выполняется умножение 4 на 9,90 на 9,4 на 0,90 на 0 и т. д. до умножения 90 на 2000. Результат умножения равен сумме промежуточных результатов, записанных в левой части таблицы.

* * *

Греки и римляне, как и доисторические пастухи, использовали для вычислений камешки или палочки. Цифры нужны были только для записи результатов. Чтобы не носить с собой постоянно мешочек с камнями, был изобретен абак — устройство для счета, которое до сих пор иногда используется для обучения детей основам арифметики.

Современная модель абака и представленное на нем число.

Каждый ряд абака соответствует позиции в записи числа. Если в каком-то ряду не сдвинут ни один шарик, это соответствует нулю, однако римляне в своей системе счисления не могли записать ноль. В римской системе число три миллиона двести восемьдесят четыре тысячи шестьсот пятьдесят семь записывалось так:

Однако в V веке н. э. индийцы уже использовали форму записи, очень похожую на современную запись 3284657. В VIII веке арабы, захватившие север Индии, заимствовали индийскую позиционную систему счисления и ноль. В Средние века они начали использовать отрицательные числа, перекрестное умножение и правило пропорции для решения задач следующего вида: «У Хусейна 22 динара, у Орнара — 19, у Халила — 7. Они сложили деньги вместе и заключили сделку, на которой заработали 12 динаров. Как нужно поделить прибыль?» В Коране также описываются сложные задачи о наследстве, которые легли в основу арабского права и подтолкнули развитие математических методов пропорционального деления наследства в зависимости от степени родства с умершим. Для решения подобных задач и уравнений была создана алгебра — от арабского «аль-джабр», что означает «восполнение». Тогда же были созданы первые алгоритмы — это слово происходит от имени известнейшего арабского математика Аль-Хорезми.