Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Чаще всего цена при торге меняется на некоторую фиксированную величину, но покупатель и продавец могут договориться о скидке в процентах. Если покупателю предложили скидку в 5 %, ему не следует ожидать, что он сможет выторговать скидку в 50 %, то есть приобрести товар за полцены. В этом случае торг можно считать успешным, если покупателю удается удвоить названную скидку, то есть сбавить 10 % от цены. Скидки обычно предлагаются на довольно дорогие товары, так что даже небольшое изменение цены в процентном отношении предполагает существенную экономию, поэтому такой вид торга встречается не очень часто.

Наиболее простая математическая модель торга — это линейная модель. В ней цены, предлагаемые продавцом и покупателем, изменяются пропорционально. При всей своей простоте эта модель неточна: в реальной жизни предлагаемые цены увеличиваются и уменьшаются неравномерно, и по мере приближения к соглашению цена изменяется все меньше.

Более точной кажется модель, в которой графики изменения цены представляют собой кривые. Кривая цены, предлагаемой покупателем, С (х), будет возрастающей и выпуклой. Это означает, что покупатель будет называть все большую цену, увеличивая ее все меньше и меньше. К примеру, последовательность значений 20, 60, 100 и 140 соответствует первой, линейной модели, последовательность 20, 50, 70 и 75 — второй модели. Значения в этой последовательности возрастают, но разница между ними становится все меньше. Кривая продавца, V (x), напротив, будет убывающей, и разница между последовательными значениями также будет убывать.

Если считать, что результатом увеличения С (х) и уменьшения V (x) будет итоговая цена, получим параболические кривые, так как увеличение и уменьшение будут описываться производными исходных функций, V' (х) и С' (х). В случае с кривой покупателя производная положительна ( С (х) возрастает), в случае с кривой продавца — отрицательна ( V (х) убывает):

V (0) = В — начальная цена, предложенная продавцом. В результате получим две параболы разной кривизны, которые пересекаются в точке равновесия.

Однако мы не знаем, действительно ли участники торга рассуждают подобным образом. Быть может, они думают, что цену следует повышать или понижать обратно пропорционально разнице с исходной ценой? Если это так, то мы получим новую модель, в которой поведение продавца и покупателя описывается логарифмическими функциями — именно эти функции являются решениями дифференциального уравнения модели. Обозначив через V исходную цену, получим:

Постоянная k для покупателя положительна, для продавца — отрицательна.

Но на самом деле люди, предлагая свою цену, не вычисляют в уме подобные пропорциональные величины. Рассмотрим реальные данные, собранные автором по результатам торга с тремя продавцами, чей доход напрямую зависел от туристов.

Во всех трех случаях мы находились не на рынке, а в магазине. Я предлагал цену, не учитывая какие-то заранее обдуманные пропорции или соотношения. Ход моих рассуждений я объясню позже.

В третьем случае цены товаров были указаны на ценниках, что, как правило, служит признаком фиксированной стоимости. В моем случае цена, написанная на ценнике, равнялась 350. Не успел я спросить, действительно ли это окончательная цена, как продавщица сказала, что может сделать мне скидку.

«Какой будет скидка?» — спросил я. «Отдам за 300» — ответила продавщица.

Скидка была не слишком большой, и я понял: цены на ценниках были не окончательными, но достаточно близкими к реальным. В любом случае вещь не досталась бы мне очень дешево. Теперь настала моя очередь предложить цену. Цены ниже 200 показались мне слишком низкими, поэтому я предложил 200. Продавщица согласилась на 280. Ее предложение несколько охладило мой пыл — новая цена была всего на 20 меньше предыдущей. Я предположил, что в итоге мы сойдемся на 250, но не хотел завершать торг слишком быстро. Я предложил 230 — чуть больше, чем 225.

Продавщица предложила 260. В конце концов я сказал, что 250 — моя последняя цена. Продавщица настаивала на 260, но я не сдавался. В итоге вещь досталась мне за 250.

После торга я спросил продавщицу, какую максимальную скидку она была готова предложить. Продавщица ответила: 25 % и добавила, что такова максимальная скидка в ее магазине, а в других местах, например на рынке, скидка могла быть намного больше. Таким образом, я провел неплохую сделку: вещь стоимостью 350 досталась мне за 250. Скидка оказалась больше 28 %.

На основе этих практических результатов я составил новую математическую модель торга. В значениях, приведенных в таблице, скрыто какое-то равновесие, а также они очевидно сходятся к итоговой цене, которая устроит и покупателя, и продавца. Какому закону подчиняется это равновесие? Предложим гипотезу: каждая цена представляет собой среднее значение двух последних предложенных цен. Иными словами, если x 0 — исходная цена, предложенная продавцом, x 1 — первая цена, предложенная покупателем, то общий член числовой последовательности, образующейся в ходе торга, задается формулой:

Это не что иное, как среднее арифметическое двух последних цен, упомянутых в торге. Приведенное выражение очень похоже на формулу общего члена в последовательности Фибоначчи. Сравним результаты трех предыдущих торгов с этой моделью, которую будем называть моделью средней цены.

Живительное сходство. Следовательно, в туристических местах торг можно достаточно точно описать моделью средней цены. Но как определить, к какому значению стремится цена в этой модели? На какой цене сойдутся покупатель и продавец в подобных ситуациях? Рассмотрим начальные цены трех предыдущих торгов и посмотрим, что произойдет.

Что общего у этих чисел и пар начальных значений цен (45, 20), (80000, 40000) и (350, 200)? Если мы посмотрим на соответствующие графики, то заметим явное сходство.