Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Как архитекторы построили куб на вершине купола, ведь для этого нужно было уметь строить прямые углы? Может быть, индийские архитекторы использовали метод древних египтян? В те времена уже было известно, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны 3, 4 и 5, прямоугольный, и это свойство применяется в современной архитектуре при вычерчивании прямых углов на земле в самых разных частях света — в Аргентине, Испании и Швеции. Еще один практический способ построения прямых углов выглядит так: нужно построить равнобедренный треугольник и соединить вершину, в которой сходятся две равные стороны, с серединой основания. Построенный отрезок будет высотой треугольника. Этот метод аналогичен описанному в главе 1, в части о построении прямых углов в основаниях египетских пирамид.

Большая ступа в деревне Санчив индийском штате Мадхья-Прадеш.

Так или иначе, ступы постепенно принимали все более сложную форму. Ступа Боднатх в Непале также имеет форму полусферы, но ее основание представляет собой мандалу. Мандалы — геометрические изображения, связанные с астрологией и состоящие из концентрических фигур. Они обычно имеют круглую или квадратную форму и образованы концентрическими неправильными многоугольниками, построенными на основе квадрата.

В отличие от Большой ступы в Санчи ступа Боднатх оканчивается ступенчатым пирамидальным сводом, который образован 13 квадратами, лежащими друг на друге. Каждый из этих 13 уровней обозначает очередной этап на пути к нирване.

С тупа Боднатхв Непале. Внизу — план здания.

Свод над кубом — характерная особенность ступ и схожих с ними сооружений — дагаб. Они могут иметь форму круга (как ступа в Санчи), пирамиды (как ступа Боднатх) или конуса (как дагаба в шри-ланкийском Анурадхапуре). Заметим, что все эти геометрические фигуры кверху сужаются.

Возможно, именно остроконечные вершины этих сооружений вдохновили строителей пагод, в которых круг уступает место квадрату и правильным многоугольникам. Многоэтажные пагоды появились в Непале, но такие же храмы строились в Китае и Японии. Большая пагода Диких гусей в китайском Сиане датируется VII веком и имеет семь этажей квадратной формы. Пагода в храме Фогонг в Инсяне датируется XI веком и также имеет семь этажей в форме восьмиугольников.

Архитектура храма Боробудур на острове Ява (Индонезия) объединяет в себе сразу три образа: храм одновременно представляет собой ступу, мандалу и копию священной горы Меру — обиталища богов. Таким образом, этот храм, построенный в IX веке, одновременно и буддийский, и индуистский. По форме он напоминает ступу, так как состоит из нескольких уровней, образующих полусферу. Но эта полусфера не имеет единой структуры, а состоит из нескольких элементов меньших размеров, расположенных на террасах. А по расположению террас храм Боробудур — это еще и мандала. Первая терраса до сих пор находится под землей. 10 уровней оканчиваются ступой в форме колокола, на которой установлена статуя Будды.

Ступы храма Боробудурна индонезийском острове Ява. Внизу — план храма.

Скульптурный комплекс, высеченный в цельной скале, представляет собой своеобразный архитектурный диалог кругов и квадратов. Единственный ритуал, который может совершить паломник, — это обойти храм по периметру основания, представляющего собой квадрат стороной около 100 метров.

Числа, описывающие элементы храма, связаны неожиданными соотношениями. Во-первых, Боробудур представляет собой не одну большую ступу — три его верхних уровня состоят из множества мелких ступ, расположенных на восходящих окружностях рядами в 32, 24 и 16 ступ. Венчает сооружение большая ступа.

На каждой ступе установлена статуя Будды, а помимо них в храме можно увидеть еще 304 изображения основателя буддизма.

Барельефы на стенах располагаются рядами в 120, 128 и 72 изображения, всего их в храме 2700. Если с точки зрения геометрии центром диалога являются круг и квадрат, то с точки зрения арифметики главную роль в описании храма играют числа 2, 3, 5 и 7, которые служат основаниями или показателями степеней:

120 = 2 3·3·5

128 = 2 7

72 = 2 3·3 2

504 = 2 3·3 2·7.

Некоторые из этих чисел также можно выразить в виде произведения последовательных натуральных чисел:

120 = 4·5·6

72 = 8·9

504 = 7·8·9.

Также в храме Боробудур можно заметить, что некоторые круги делятся на 16, 24 и 32 равные части. Если построить квадрат, вписанный в круг, и провести его диагонали либо серединные перпендикуляры, то круг окажется разделен на четыре равные части. Серединные перпендикуляры и диагонали разделят круг на восемь равных частей. Быть может, архитекторы при расположении архитектурных элементов храма руководствовались именно этими линиями? В таком случае достаточно провести биссектрисы углов, пусть даже примерно, чтобы разделить круг на 16 частей, после чего повторить построение еще раз и разделить круг на 32 части.

Деление квадрата и круга на 2, 4 и 8 равных частей.

Чтобы разделить круг на 24 равные части, нужно разделить его на три либо на кратное трем число частей, к примеру на 6 или 12. Существует простой метод деления круга на 12 частей. Суть его такова. Сначала нужно построить круг, вписанный в квадрат. Для этого можно сначала провести окружность, а затем — четыре перпендикулярные касательные, которые и образуют квадрат. Далее стороны квадрата делятся на четыре равные части, и строится сетка. Наконец, каждая точка пересечения сетки с окружностью соединяется с диаметрально противоположной точкой. В результате круг оказывается разделен на 12 одинаковых секторов. Теперь, чтобы разделить круг на 24 равные части, достаточно провести биссектрисы в каждом секторе.

Деление круга на 12 равных частей.

Но эта модель возможна лишь при построениях на бумаге, а чтобы расположить 24 ступы среднего уровня храма Боробудур на одинаковом расстоянии друг от друга, архитектор мог измерить длину окружности и разделить ее на 24 равные части, то есть он работал с линией, а не с кругом.