Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Эти емкости могут иметь самые разные формы — наиболее популярные вы можете видеть на фотографии. Эти формы появились не случайно. Каждый день женщины всех возрастов складывают и сплетают из листьев коробочки и конверты для даров. Но как женщинам удается складывать коробочки квадратной формы и сворачивать конверты с заданным углом?

К счастью, нам не нужно высказывать гипотезы и делать предположения — мы располагаем информацией из первых рук. Чуть дальше вы сами увидите, как именно женщины с острова Бали складывают эту квадратную посуду.

Сначала они нарезают нежные листья кокосовой пальмы на полоски одинаковой ширины вдоль волокон. Приняв за единицу измерения расстояние от конца указательного пальца до большого пальца, они делают на листе четыре пометки. Затем лист складывается так, чтобы последняя метка совпала с первой. Несколько листов банана, нарезанных на полоски того же размера, складываются в большой лист, который вставляется внутрь четырехугольного листа кокосовой пальмы. Посуда готова.

1. Мерка.

2. Полоски листьев кокосовой пальмы с четырьмя отметками.

3. Листья сгибаются.

4. Полоска бананового листа длиной в одну единицу.

5. Несколько полосок банановых листьев складываются и образуют дно посуды.

6. Дно укладывается в посуду. Посуда готова.

Женщины знают, что посуда имеет квадратную форму: во-первых, это очевидно, во-вторых, посуда сложена из четырех равных частей, что, однако, обеспечивает равенство всех четырех сторон, но не равенство углов. Если быть точным, то посуда имеет форму ромба, а квадрат получается только после вставки банановых листьев.

Так как полоски банановых листьев по длине равны стороне квадрата, высота ромба становится равной его стороне, и он принимает форму квадрата. Из бесконечного множества всех возможных ромбов (четырехугольников с равными сторонами) только один является квадратом и, более того, имеет наибольшую площадь.

Описанный выше метод сам по себе не гарантирует правильность решения. Однако женщина, складывая посуду, применяет на практике следующую теорему: ромб, высота которого равна его стороне, — квадрат.

Доказать эту теорему несложно. Высота определяет прямоугольный треугольник, в котором угол, противолежащий высоте, будет углом ромба. Так как катет этого прямоугольного треугольника (высота ромба) равен его гипотенузе (стороне ромба), длина второго катета равна нулю. Высота и сторона ромба параллельны.

Следовательно, две стороны, сходящиеся в вершине, перпендикулярны — это отличительное свойство квадрата.

Из таких же полосок меньших размеров, подготовленных должным образом, изготавливается множество узоров, которые прилагаются к подношениям. Они также образованы из геометрических фигур, а некоторые из них напоминают цветы и складываются посредством сгибов и поворотов полосок на одинаковые углы.

На рисунках ниже показан процесс изготовления посуды из прямоугольника, вырезанного из бананового листа. Длина этого прямоугольника должна быть примерно в два раза больше его ширины. На нем отмечаются центр и серединный перпендикуляр, после чего прямоугольник складывается так, что его нижние углы накладываются друг на друга. В результате верхняя сторона приобретает форму кривой и образуется «карман», куда и складываются подношения.

Серединный перпендикуляр, отмеченный на прямоугольном банановом листе формата 2:1.

Первый сгиб вдоль диагонали прямоугольника.

После второго сгиба вдоль диагонали получается конверт, куда вкладываются подношения.

Иными словами, нужно согнуть прямоугольник вдоль нижних частей двух диагоналей, как показано на рисунке ниже. Так как в полученном прямоугольном треугольнике один катет в два раза длиннее другого, тангенс угла сгиба будет в два раза больше соотношения между катетами.

Однако описанный способ далеко не единственный, и в зависимости от местных обычаев или способностей мастера посуда может принимать самую разную форму. Кроме того, подобным образом складывается не только посуда, но и декоративные украшения, например спираль из тонких волокон листьев. Четыре сплетенных волокна, которые образуют спираль, изображенную на фотографии, имеют ширину 3 мм.

Ее витки направлены вокруг оси. Спираль опирается на ось только в начальной и конечной точке. Углы при вершинах спирали почти прямые и образуются скручиванием волокна на пол-оборота до сгиба. Волокна листьев переплетены, как показано на следующей схеме. Угол а определяет угол между двумя последовательными вершинами (он равен 180° — α ) и число секторов на каждом обороте спирали.

Будем повторять аналогичные действия, и поверхность примет следующий вид.

Плетеная спираль, вид сверху.

В Японии верующие вешают у входов в синтоистские святилища и алтари деревянные таблички, на которых записывают свои пожелания и просьбы. Студенты просят об успешной сдаче экзамена, семьи и супружеские пары — о счастливом браке, а коммерсанты — об удаче в делах.