Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Каждое утро женщины с юга Индии, особенно из штатов Тамилнад и Керала, проводят у дверей своих домов ритуал: они рисуют на земле рисовой мукой или мелом ряд геометрических фигур, которые затем могут раскрашивать в яркие цвета. Эти фигуры — колам — отличаются большим разнообразием и могут иметь вид как маленьких и простых изображений цветов, так и сложнейших геометрических узоров.

Колам — это не просто искусство. Линии и фигуры в нем обычно строятся на сетке точек, заранее размеченных на земле. Кроме того, колам состоят из меньших фигур, как правило, симметричных и повторяющихся по заданной схеме, которая также определяется формой исходной сетки из точек. На фотографии изображен колам с двумя перпендикулярными осями симметрии, начерченный на основе восьмиугольной сетки из точек.

Женщины рисуют колам в городе Ченнаи, штат Тамилнад (Индия).

Как правило, узоры колам рисуют женщины, вместе с другими работами по дому. Но иногда к ним присоединяются и мужчины — просто для эстетического удовольствия.

Только в одном случае колам должен рисовать мужчина — во время особого ритуала, посвященного богине-матери Бхагавати в штате Керала. Этот ритуал называется Бхагавати севаи, и проводить его может только жрец-мужчина, который и должен нарисовать особый колам — падман (лотос).

Существует два основных вида узоров колам. К первому относятся узоры, подобные изображенному на предыдущей странице. Они состоят из двумерных фигур, заполняющих сетку из точек. Узоры второго типа состоят из одной или нескольких непрерывных линий, которые проходят через все точки сетки и образуют одну или несколько фигур.

Все колам начинаются с построения на земле сетки из точек, расположение которых зависит от свободного места. Колам могут заранее изображаться на бумаге, особенно если речь идет об очень сложных узорах или фигурах больших размеров. Проводить линии, соединяющие точки, нужно без ошибок — исправления не допускаются. Узоры колам не имеют особых названий и обозначаются по принципу подобия — «звезда», «лотос», «кокосовая пальма», «повозка» и так далее. Линии, соединяющие точки, имеют форму восьмерок, или знака бесконечности.

Колам, составленный из элементов меньшего размера, изображенных одной линией.

Сходство со знаком бесконечности не случайно — в этом регионе непрерывные линии подобной формы обозначают бесконечный цикл жизни: рождение, расцвет, увядание.

Тщательно изучив боковые кривые на изображенном выше коламе, мы увидим, в каких случаях их можно изобразить одной линией. Четыре боковые фигуры представляют собой прямоугольники и изображены на сетках точек размерами 2 x 7. Все точки соединены одной линией. Аналогично можно соединить точки в сетках размерами 2 х 3 и 2 х 5.

Но провести такую линию на сетке 2 х 4 не удастся. В этом случае потребуются две линии, симметричные по вертикали и горизонтали.

Можно ли соединить все точки сетки одной линией, зависит от того, сколько столбцов в сетке — четное это или нечетное число. Пронумеруем столбцы слева направо и увидим, что кривая на сетках размером 2 х З, 2 х 5 и 2 х 7 проходит через столбцы под номерами: {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 3} и {1, 2, 4, 6, 7}. Для четного числа столбцов подобное невозможно.

Чтобы построить непрерывную линию, проходящую через все точки сетки двух строк А и В и N столбцов (где N нечетное, то есть имеет вид N = 2· k + 1), нужно следовать алгоритму:

N = 2· k + 1:

к четное: { А (1), В (2), А (4), В (6), …, А (2·k), В (N)};

к нечетное: { А (1), В (2), А (4), В (6), …, А (2·k), A (N)}.

Некоторые колам образованы одной кривой, подобно бесконечному узлу, но большинство узоров состоят из нескольких линий.

Колам из трех линий.

Этот колам образован тремя кривыми. Две из них одинаковы: одна получается из другой поворотом на 90°. Обе эти кривые симметричны относительно поворота на 180°. Третья кривая образует фигуру, симметричную относительно поворота на 90°. Она построена на двойной сетке из 25 точек, которые расположены в виде двух квадратов размерами 3 х 3 и 4 х 4, причем первый находится внутри второго.

Колам.

Традиция изображать колам на юге Индии насчитывает несколько веков, и ее истоки, возможно, лежат в культурах Центральной Африки. В этих узорах математическая мысль состоит не столько в симметричности итоговых фигур, сколько в четких методах построения. Именно женщины являются хранителями многовековой традиции и математических знаний, которые ежедневно используются в домашнем хозяйстве. Методы изображения колам передаются от матери к дочери, совершенствуются и достигают таких высот, что ими восхищаются математики всего мира.

В одиннадцатой главе трактата «Дао дэ цзин» отмечается, что полезность колес, сосудов и окон проистекает из их пустоты. В самом деле, люди с доисторических времен стремятся отделить небольшие участки бесконечного пространства, которое нас окружает, создавая границы: для колеса нужна окружность, для сосуда — сферическая поверхность, для окна — плоская стена с отверстием в нем.

В разные годы были созданы самые разные плоские и криволинейные поверхности из бесконечного множества материалов и бесконечным множеством способов. Чаще всего для создания поверхностей и объемных тел применялось плетение волокон растений — этим методом создаются как плоские поверхности — циновки рогожи, стены и крыши домов, так и объемные фигуры — корзины, клетки, загоны для птицы и мячи для игры в сепактакрау (разновидность волейбола в Юго-Восточной Азии, но игра происходит не руками, а ногами).

Творческие способности и умения мастеров со всего света заслуживают восхищения как с художественной точки зрения, так и с точки зрения технологий. Паулус Жердес, исследователь этноматематики из Мозамбика, изучил узоры и формы, применяемые мастерами плетения из лозы. Среди геометрических задач, связанных с лозоплетением, выделяется следующая: каким должен быть угол сгиба, если нужно обернуть один прут вокруг другого прута такой же толщины? Ответ — 60° — определяется при помощи тригонометрических расчетов. На практике этот угол определяется складыванием лозы вдвое, как показано на рисунке.