Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

* * *

ТЕОРЕМА КАВАЛЬЕРИ

Метод, использованный Кавальери для вычисления объемов, можно наглядно объяснить так: представьте, что перед вами — две стопки монет или фишек казино одинаковой высоты. Сдвинем монеты во второй стопке так, что она перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объем полученной фигуры будет достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что объем обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой неделимое.

По теореме Кавальери, объем обеих стопок монет одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально ровно, в другом — нет.

* * *

Принцип Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте, равны, то объемы этих тел одинаковы.

С помощью этого метода Кавальери доказал, что объем конуса равен 1/3 объема описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его подход вызвал жестокую критику современников, на которую ученый не мог возразить, поскольку не мог представить достаточное математическое обоснование своих рассуждений. В защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий метод, а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И ему это удалось: метод Кавальери с успехом использовали такие математики, как Ферма, Паскаль и Роберваль. Особенно значительных результатов достиг последний, вычислив площадь, ограниченную дугой циклоиды.

Рене Декарт(1596–1650) является основателем и главным представителем рационализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а ключевой фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по его мнению, была единственно возможной отправной точкой на пути преодоления сомнений. Его метод, как следует из названия, представляет собой множество правил, которые позволяют строить адекватные рассуждения в любой области человеческой мысли. Нет сомнений, что Декарт был прежде всего философом, а не математиком, и полученные им математические результаты можно считать следствием использования его метода.

В настоящее время науки отделены от философии, но это не означает, что философия не оказывает на них никакого влияния — мы просто меньше осознаем их взаимосвязь.

Основные результаты Декарта, полученные им помимо других важных открытий, в частности классификации кривых и работ по коническим сечениям, изложены в труде «Геометрия». Декарт считал, что решение геометрических задач часто требует излишних умственных усилий, направленных на то, чтобы мысленно представить расположение фигур. Он создал систему, в которой фигуры представлялись как множество точек, каждой из которых можно было поставить в соответствие числа. Таким образом, геометрическая задача сводилась к алгебраической, а многие алгебраические задачи стало возможно решить геометрическими методами. Говорить о том, что в его работах заложены основы аналитической геометрии, было бы преувеличением, однако можно с абсолютной уверенностью утверждать, что в них была впервые описана декартова геометрия.

Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в которой он говорил не о бесконечном, а о неопределенном. Он признавал существование бесконечно большого, заявляя, что число звезд на небе не определено, и существование бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена понятий была умышленной, и Декарт оправдывал ее тем, что слово «бесконечность» должно использоваться только применительно к Богу. Ученый принимал возможность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Таким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной бесконечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими ограничениями, что не помешало ученому согласиться с существованием потенциальной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши представления о бесконечности врожденными.

* * *

ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ

В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта в Швецию: она хотела учиться у него философии. Декарт воспользовался возможностью покинуть среду, где философские споры с голландскими протестантами постепенно становились все более и более ожесточенными.

По легенде, королева любила прохладу, и аудиенции обычно проходили в залах с открытыми окнами, из-за чего длились очень недолго. Декарт счел себя обязанным давать королеве уроки в таких же условиях. Кроме того, по привычке он начинал занятия очень рано: экипаж забирал его в половине пятого утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять месяцев спустя Декарт заболел пневмонией и 11 февраля 1650 года умер.

Фрагмент картины «Диспут королевы Кристины и Декарта» французского художника Пьера-Луи Дюмениля. Версаль.

История математического анализа очень увлекательна, а его постепенному развитию сопутствовали споры, касавшиеся бесконечности, в частности бесконечно малых величин, поэтому математический анализ также называется анализом бесконечно малых.

Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся ученых, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.

Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.