Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Предположим, что наш газ имеет три частицы. В первом случае они будут ограничены верхней левой площадью коробки, отмеченной серым. Как видно, для этой области есть 25 возможных положений для каждой из частиц. Поскольку у нас есть три частицы, которые мы можем расположить где угодно без наложений, общее число микросостояний будет 25·24·23 = 13800.

Теперь обратим внимание на целую коробку. Ее сторона равна 10 единицам, так что общее число возможных позиций равно 100. Общее число микросостояний равно 100·99·98 = 970200. Итак, очевидно, что гораздо больше микросостояний совместимо со второй возможностью, чем с первой. Действительно, мы можем вычислить вероятность того, что газ окажется в верхнем углу. Это будет число совместимых микросостояний, разделенное на общее их число:

Итак, существует 98,6 % вероятности того, что газ займет всю коробку. Если бы мы взяли больше частиц и более мелкую сетку, то получили бы более значительную разницу. Таким образом, модель распределения Больцмана говорит то же самое, что и термодинамика.

Можно задаться вопросом, существует ли какой-нибудь микроскопический способ понять энтропию термодинамики. Энтропия — это величина, которая возрастает в каждом изолированном процессе и дает нам меру разрежения энергии. Можем ли мы найти какую-то величину, которая бы тоже выросла в процессе, который мы только что изучили? Ответ — да: возросло число микросостояний. Если в начале мы насчитывали их 13 800, то в конце — почти миллион. Число микросостояний показывает нам, какова вероятность получения этого макросостояния; кроме того, разумно предположить, что система всегда эволюционирует в сторону наиболее вероятного состояния. Итак, мы можем прийти к выводу, что энтропия и число микросостояний могут быть каким-то образом связаны.

* * *

ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН И АТОМЫ

Людвиг Больцман(1844–1906) , портрет которого вы видите рядом с этими строками, был австрийским физиком, который ввел идею, что такие термодинамические явления, как температура, на самом деле — крупномасштабное проявление микроскопического поведения атомов. В то время само существование атомов еще вызывало дискуссии, и многие коллеги ученого отвергали его теорию, считая, что не существует никакого доказательства того, что материя состоит из элементарных частиц.

Больцман покончил жизнь самоубийством в 1906 году — как гласит легенда, из-за того, что научное сообщество отвергло его идеи. На самом деле это было связано с проблемами медицинского характера, а не с научным разочарованием. Через два года после смерти Больцмана Жан Батист Перрен(1870–1942) подтвердил существование атомов с помощью эксперимента над броуновским движением, в котором маленькие частицы пыли хаотично двигались, сталкиваясь с молекулами жидкости.

* * *

К этому же выводу пришел и Больцман, которому удалось доказать, что энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний, умноженному на его известную постоянную. Логарифм обозначается как log и является обратным экспоненте. Например, выражение log3 говорит нам, в какую степень мы должны возвести число 10, чтобы получить 3. Математически энтропия Больцмана выражается следующим образом:

S = k · log W ,

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана и W — число микросостояний.

В популярной литературе часто встречается объяснение энтропии как хаоса. Теперь, когда мы знаем связь между энтропией и числом микросостояний, мы можем понять, почему это происходит. Самый простой способ увидеть это — обратить внимание на доску, покрытую шашками.

Предположим, что мы ставим шашки в порядке, как показано на рисунке.

Каково сейчас число микросостояний, совместимых с этой конфигурацией? Чтобы найти его, воспользуемся рассуждениями из области комбинаторики, подобными приведенным в предыдущей главе. У нас 32 черные клетки и столько же белых. Мы ставим первую черную шашку на любое белое поле; для следующей есть только 31 вариант, и так далее. Следовательно, существует всего 32! способа распределить черные шашки, если считать, что они отличаются друг от друга. Точно так же есть 32! способа распределения белых шашек, так что всего у нас 32!·32! способов установить шашки, чтобы получить вышеуказанную конфигурацию.

Остальные конфигурации будут более беспорядочными, чем эта, поскольку нет никаких ограничений, связанных с тем, как следует располагать шашки. Например, конфигурации, показанные ниже, более беспорядочны, чем предыдущая.

Вычислим общую сумму возможных конфигураций всех шашек. Поскольку нам все равно, белая шашка или черная и где она находится, рассмотрим их все одновременно. Для первой у нас будет 64 возможности, для второй — 63, и так далее.

Итак, общее число конфигураций равно 64! Вероятность получения упорядоченной конфигурации равна числу упорядоченных конфигураций, разделенному на общее число конфигураций:

Как видите, упорядоченное положение имеет очень малую вероятность, а хаотичные состояния, напротив, очень вероятны. Поскольку состояния, характеризующиеся высокой энтропией, а также хаотичные состояния имеют очень высокую вероятность, мы можем связать их друг с другом и заключить, что состояния высокой энтропии более хаотичны.

Как мы только что увидели, энтропия пропорциональна числу микросостояний, характерных для макросостояния, в котором находится система. Однако даже зная макросостояние, мы не можем знать микросостояние, и чем выше энтропия системы, тем ниже ее предсказуемость. Предположим, что у нас есть система с 1000 различных микросостояний. Если мы знаем, что в этот момент она находится в первом, мы можем быть уверены только в том, что в следующий момент она будет находиться в одном из других 999. Но если у нас есть система только из десяти состояний, мы знаем, что есть только девять возможностей, начиная с текущего момента, то есть такая система более предсказуема.