Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Карта очага эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу, на которой отмечены случаи заболевания холерой в Лондоне в 1854 году. Точки указывают место жительства заболевших, крестами отмечены колонки с питьевой водой. Точки сконцентрированы вблизи колонки на улице Броуд.

* * *

Мы можем использовать карты в разных целях: для поиска кратчайшего пути до точки назначения, определения расстояний, измерения длин рек, газопроводов или линий связи; для определения зоны поражения боевой ракеты, области утечки газа или радиационного заражения. С помощью карт можно определить направление ветра, задать курс при путешествии в открытом море, на земле или в воздухе, вычислить площадь определенной территории, проанализировать географическую информацию, представленную на карте (уровень жизни, плотность населения, экономические данные или данные об уровне производства товаров и т. д.). Для решения последней задачи важно, чтобы карта сохраняла площадь и, если возможно, форму, то есть общий вид рассматриваемых территорий. Карты позволяют изучать особенности рельефа местности, например бассейны рек, горные хребты, долины и побережья; при этом очень важно, чтобы на карте сохранялись их реальные очертания. По сути, при работе с картой нас интересуют вопросы измерения расстояний, длин кривых, поиск кратчайших путей (геодезических линий), определение направлений, углов, площадей и форм. Следовательно, при построении математических проекций земной поверхности на плоскости мы хотим, чтобы проекции сохраняли указанные параметры.

Остановимся на мгновение и подумаем о проблеме составления карты земной поверхности на бытовом уровне, не обращаясь к методам дифференциальной геометрии, необходимым, чтобы ответить на вопрос со всей точностью. Несложно увидеть две основные трудности, возникающие при составлении карт. Одна из них заключается в том, что, в зависимости от задачи, карты должны иметь разные размеры и на них должны быть изображены участки земли разной площади. Вторая трудность — различие между геометрической формой самой Земли и карты, на которой она изображается: Земля имеет форму сферы, а карта плоская.

Из всего сказанного следует, что математические проекции, используемые при составлении карт, становятся понятны, если рассмотреть построение карт как двухэтапный процесс. Сначала земная сфера проецируется на сферический глобус, уменьшенный (в масштабе) до выбранного нами размера. Эта часть проекции заключается в простом уменьшении изображения земной поверхности. Затем уменьшенное изображение проецируется на плоскость, в результате чего появляется нужная нам карта.

* * *

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КАРТЫ

Если мы нарисуем карту нашего дома, квартала или района, на ней не будет сохранен ни один из привычных параметров. Точно такими же были первые карты, созданные человеком, например вавилонская карта VI века до н. э., изображенная на глиняной табличке. Это так называемые топологические карты, на которых основное значение имеют отношения вида «близко — далеко», «вместе — раздельно», а также порядок и непрерывность. На топологических картах обычно изображают взаимосвязи между элементами местности. Хрестоматийным примером таких карт служат схемы метро, так как для тех, кто ими пользуется, важнее не расстояние между станциями, а их число и схемы пересадок.

К топологическим картам относятся так называемые фэнтези-карты вымышленных миров, например карта Средиземья из «Властелина колец» Дж. Р. Р. Толкиена(1954) или «живописные карты», которые можно увидеть, например, в парках аттракционов. К этому же виду относятся карты нейронных сетей и другие карты, используемые в информатике, а также карты, связанные с графами.

* * *

Описанная выше сферическая модель Земли — это идеальная модель земной поверхности, которая отличается от нее только размером, но не формой. Масштаб указывает разницу в размерах между Землей и сферой. Определить его можно, разделив радиус сферы на радиус Земли. Рассмотрим глобус радиусом 25 см. Радиус Земли будем считать равным 6371 км (если использовать размеры эллипсоида WGS84). В этом случае масштаб равен

Этот масштаб, который обычно записывается как 1:25484000, означает, что каждый сантиметр глобуса соответствует 25484000 см, то есть 254,84 км земной поверхности.

На многих древних картах масштаб указывался с помощью изображения компаса, как можно видеть на этой карте Магелланова пролива (1606), выполненной Йодокусом Хондиусом. На карте изображены и другие типичные элементы карт того времени, в частности роза ветров и фантастические животные.

Как влияет это уменьшение в размерах на метрические параметры карт, о которых мы говорили выше? Расстояния и длины кривых уменьшаются линейно в соответствии с масштабом, то есть каждый сантиметр глобуса соответствует 254,84 км земной поверхности. Следовательно, если мы хотим измерить расстояние от Барселоны до Аделаиды, нужно всего лишь измерить это расстояние на сферической модели Земли и умножить результат в сантиметрах на 254,84. Площади участков земной поверхности и масштаб карты связаны квадратичной зависимостью: каждый квадратный сантиметр на глобусе будет соответствовать 254,84 2= 64943,4256 км 2.

Большие круги, указывающие кратчайшие пути, станут большими кругами на сферической модели, поэтому геодезические линии также останутся неизменными. Сохранятся также углы и направления. Как видим, преобразование, которое заключается в уменьшении размеров Земли, не изменяет метрические параметры, масштаб во всех точках сферической модели остается постоянным.

Математически это можно выразить следующим образом. Будем считать, что Земля и ее сферическая модель имеют общий центр, который мы примем за начало нашего трехмерного пространства . Следовательно, наше математическое преобразование будет отображением Земли ( S 1 ), которая является сферой радиуса 6371 км, на сферическую модель ( S 2 ) радиусом 25 см φ: S 1 —> S 2 , определяемым как φ( х ) = е · х . На языке геометрии это отображение называется гомотетией (при е > 1 исходные фигуры увеличиваются, при е < 1, как в нашем случае, — уменьшаются). Это простое преобразование, которое однозначно определяется свойством пропорционального уменьшения размеров фигур.