Карл Зигмунд - Точное мышление в безумные времена. Венский кружок и крестовый поход за основаниями науки

Две тысячи лет геометры пытались обойти эту проблемную аксиому, для чего им требовалось вывести ее логически из остальных, более простых и интуитивно понятных. Однако их упорный труд не увенчался успехом, и в начале девятнадцатого века до математического сообщества стало постепенно доходить, что эти усилия, скорее всего, так ни к чему и не приведут. Многие математики даже заключили, что невозможность строгого доказательства аксиомы о параллельности можно строго доказать.

И тогда приблизительно одновременно (в двадцатые годы девятнадцатого века) два отважных математика — венгр Янош Бойяи и русский Николай Лобачевский — поняли, что если заменить аксиому о параллельности альтернативной аксиомой — для любой прямой L и любой точки P , не принадлежащей L , существует бесконечно много прямых, проходящих через P и не пересекающихся с L , — получится альтернативная геометрия, неевклидова геометрия, в которых параллельных линий не одна, а много . Поначалу теоремы неевклидовой геометрии выглядят непривычно и крайне любопытным образом отличаются от знакомой евклидовой геометрии, например, в новой геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов, но главное в ней другое: набор ее теорем ничуть не менее непротиворечив. С чисто логической точки зрения обе геометрии одинаково верны.

Это показало, что в принципе аксиомы и теоремы так называемой «геометрии» не обязательно имеют отношение к человеческой интуиции. Наша человеческая образная система точек и линий, наше ощущение, что они представляют собой «на самом деле», так сказать, представление об их природе, — сугубо наше личное дело. Безусловно, интуитивные представления полезны в повседневной жизни, когда надо прокладывать себе маршрут в пространстве, но для геометра, рассуждающего абстрактно, важно лишь, как определенные чисто теоретические сущности, которым даны названия точек и линий, соотносятся друг с другом согласно произвольно заданным аксиомам и логически вытекающим из них теоремам. Короче говоря, геометрия не обязательно имеет отношение к физическому миру, в котором мы родились и живем.

Такую точку зрения особенно ревностно отстаивал Давид Гильберт (1862–1943), самый выдающийся математик своего времени. Родиной Гильберта был прусский город Кенигсберг, город Иммануила Канта.

«Давид Гильберт, проделав огромную подготовительную работу, поставил перед собой цель выстроить геометрию на основаниях, чьей надежности никогда не будет угрожать отсылка к интуиции» Мориц Шлик

Гильберт никогда не был вундеркиндом. Как он признавался впоследствии, «В школе меня не особенно занимала математика, поскольку я понимал, что всегда успею ею заняться» [84] 84 Blumenthal. Lebensgeschichte. В кн.: Hilbert, 1970. . Юный Гильберт никуда не спешил. Он был от природы дальновиден.

А еще Гильберт никогда не отступался от намеченной цели. И всегда получал новые фундаментальные результаты — и в алгебре, и в анализе, и в теории чисел, и в прикладной математике. Как сказали бы французы, он был наделен le coup d’oeil [85] 85 Здесь — острым глазом. (Прим. ред.) . В 1895 году Гильберт получил в Геттингенском университете кафедру, которую до него занимали титаны и гении — Карл Фридрих Гаусс и Бернхард Риман. Очень скоро ему удалось превратить небольшой университетский городок в блистательный мировой центр математики и теоретической физики, которому не было равных целых сорок лет.

Книга Гильберта «Основания геометрии» стала образцом современной концепции математической теории. Тонкий томик задавал аксиоматические рамки евклидовой геометрии с величайшей строгостью и безо всяких отсылок к интуиции. Секрет был прост. Основные понятия определялись исключительно через их взаимные отношения. Например, Гильберт опустил утверждение Евклида «Точка — то, у чего нет частей», но сохранил «Две различные точки определяют прямую».

Спрашивать, что такое на самом деле прямые и точки, так же бессмысленно, как спрашивать, что такое на самом деле шахматные фигуры. Какая разница? Значение имеют только правила игры. Смысл основных понятий не имеет ни малейшего отношения к делу.

Гильберт выразился просто: «Вместо того чтобы называть все это «точками», «линиями» и «плоскостями», можно с тем же успехом называть их «столами», «стульями» и «пивными кружками»». Эта шутка среди математиков мгновенно вошла в пословицу.

В физике все примерно так же, но с одной оговоркой. Некоторые считают, что идеальная физическая теория должна следовать примеру геометрии. То есть роль аксиом должны играть некоторые фундаментальные законы — чем меньше и чем проще, тем лучше. Законы задают соотношения между самыми элементарными понятиями. А затем из этих аксиом мы можем логически вывести огромное множество следствий — как в математике. Но ведь цель физики — выявлять факты реального мира, поэтому физические понятия должны быть связаны с измерениями, а следствия из фундаментальных законов — проверяться при помощи тщательных наблюдений.

Таким образом, физическая геометрия сосуществует с математическими геометриями во всем их многообразии. Физическая геометрия описывает реальное пространство и должна быть применимой, в частности, к углам, граням и ребрам твердых тел. Тогда можно будет изготовить физические треугольники из металлических стержней и измерить сумму их углов. Если окажется, что эта сумма отличается от ста восьмидесяти градусов, мы окажемся перед дилеммой: либо наше пространство неевклидово, либо стержни у нас не прямые. С каким из этих утверждений мы согласимся, вопрос договоренности. Нам решать, как будет удобнее.

Как могли бы выглядеть аксиомы физики? А аксиомы вероятности? Есть ли механический способ подвергнуть математическое утверждение инспекции и сказать, истинно оно или ложно? Эти вопросы вошли в число двадцати трех задач, которые поставил перед математическим сообществом Дэвид Гильберт в 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже. Гильберт надеялся, что в наступающем веке по крайней мере некоторые из этих задач будут решены. Однако решены пока не все. Но все они оказывают определяющее влияние на математическую науку.

На протяжении девятнадцатого века математику постоянно контролировали, укрощали и проверяли железной логикой. Мало того, что ради строгости пришлось пожертвовать интуитивным обаянием математики — сам метод логических рассуждений стал жестко регламентирован и расписан по шагам. Более того, стало очевидно, что старой доброй аристотелевой логики математикам уже не хватает. В ответ на такой спрос англичанин Джордж Буль (1815–1864), немец Рихард Дедекинд (1831–1916) и итальянец Джузеппе Пеано (1858–1932) разработали свои версии чистой символической логики, которая дает возможность формализовать даже самые сложные математические доказательства. А предельным случаем такой логики стало «понятийное письмо» — Begriffsschrift , — которое создал немецкий логик Готлоб Фреге (1848–1925).