Виктор Лёвин - Актуальность сложности. Вероятность и моделирование динамических систем

В процессе развития системно-структурного подхода проблема функционального упрощения и его критериев заняла одно из центральных мест [144]. Решение этой проблемы оказалось связано с поиском специфических концептов, соответствующих тому аспекту реальности, который находит выражение в понятии «функциональность». На интуитивном уровне «функциональность» можно определить как связь особого рода, которая обеспечивает постоянное соотнесение элементов с целостным уровнем и реализует относительную замкнутость и полноту системы, обнаруживающиеся в ее устойчивости, адаптивности и т.д. Все такие характеристики имеют отношение к одному из существенных свойств систем, определяемых как их динамизм [145].

В известном смысле, «функциональность» может быть истолкована в качестве своеобразного фильтра или канала, пронизывающего внутренний уровень системы и замыкающегося на ее внешнем уровне (на целостных параметрах и характеристиках). Различные аспекты функциональности получили свое выражение в таких, например, понятиях как «обратная связь», «гомеостазис» др., широко используемых кибернетикой. На базе этих понятий сформировались конкретные методы и приемы исследования того момента сложности, который связан со свойством функциональности.

Прообраз функционального подхода можно найти в классической термодинамике, использовавшей метод обобщенных координат. Развиваемый впоследствии функциональный подход внес в классический прием много нового. Сложилась тенденция выражать функции системы в обобщенной форме. Поведение и работа многих систем описывается, например, как функционирование по принципу «все или ничего». Другим образцом функционального подхода стал так называемый «черный ящик» - объект, способный воспринимать определенное множество входных сигналов и ассоциировать входы с выходами согласно одному из некоторых допустимых законов [146]. Закон может задаваться различным образом, например, в виде протокольной записи, где в хронологическом порядке фиксируются состояния входов и выходов.

Задача исследования «черного ящика» определяется, например, как поиск повторяемости в его поведении [147]. В ходе такого исследования достаточно длинная протокольная запись перекодируется с тем, чтобы установить однозначный характер преобразования входных параметров в выходные. Эшби указывал, что если преобразование оказывается неоднозначным, то следует, либо принять во внимание большее число входов и выходов системы (перейти к исследованию нового «ящика»), либо отыскивать статистическую детерминированность в поведении системы, разбивая запись на большие отрезки и проверяя предсказуемость статистических характеристик параметров [148].

В некоторых случаях, как показал Эшби, решение задачи «черного ящика» удается выразить в форме канонического представления, вследствие чего создается возможность надежно управлять системой и предсказывать ее поведение [149].

Каноническое уравнение является аналитическим выражением преобразования. Применение этой формы предполагает выделение существенных переменных системы и установление связей между ними. Таким путем достигается однозначное функциональное описание системы. Наглядное представление дает о нем, например, уравнение газового состояния, известное из термодинамики. Обратившись к методу фазовых пространств, не трудно убедиться, что в этом уравнении реализуется идея однозначного соответствия каждого состояния системы некоторой точке фазового пространства.

В действительности подобный прием опирается на ряд сильных идеализаций, и применим лишь к некоторым упрощенным ситуациям. Например, в отношении термодинамических систем он имеет смысл для достаточно медленных процессов, скорость которых значительно медленнее скорости релаксации.

Способ описания поведения системы посредством обращения к статистическим показателям при сохранении формы преобразования демонстрирует более общий случай. В этих рамках системный метод оказывается применимым для выражения сложного поведения, характеризующегося известной неопределенностью. Упорядочение функциональной картины (переход к функциональной структуре) связано здесь с поиском инвариантов статистических рядов и опирается на достаточно разработанный математический аппарат, примером которого может служить статистическая теория информации [150].

Отдельно надо высказаться о том, что развитие способов функционального описания, ориентированных на идею включения неопределенности в рамки определенности, привело к формированию особого направления в методологии науки. Это направление связано с понятием «оптимизация». Оптимизационный подход вместо непосредственного определения каждого состояния системы, из которых складывается ее поведение, использует некоторую целостную характеристику путей смены состояний. Множество этих путей рассматривается с позиций выбора. Критерием последнего выступает требование наибольшей выгоды [151].

В данном случае упрощение ситуации, связанной с неопределенным поведением системы, удается осуществить посредством включения линии смены состояний в некоторую теоретическую схему, операциональное определение которой выражается следующим образом:

1. Выделяется система, подлежащая управлению и оптимизации.

2. Выявляется достаточно полный набор альтернатив решений стоящей задачи.

3. Выбирается критерий для сопоставления альтернатив.

4. Строится модель, обеспечивающая получение количественной оценки выбранного критерия.

5. Анализируются и сопоставляются альтернативы на базе полученных количественных характеристик критериев.

Собственно оптимальное решение состоит в нахождении такого сочетания управляемых параметров, входящих в выбранную целевую функцию или критерий оптимизации, которое подчиняется требованию экстремума целевой функции. В качестве критерия для многих практических задач берут часто экономический показатель: уровень рентабельности, прибыль и т.п. Общую же форму задания целевой функции для более или менее обширного класса задач найти весьма непросто. И в этом одна из главных трудностей развития методов оптимизации. Их разработка интенсивно ведется в настоящее время рядом разделов математики.

Наиболее известными и разработанными являются линейные методы оптимизации линейных целевых функций при линейных ограничениях допустимых вариантов решений. Появились также методы нелинейного программирования, с помощью которых решаются задачи оптимизации более общего характера, нежели посредством линейного программирования. Здесь широко используются вероятностно-статистические представления.