Виктор Лёвин - Актуальность сложности. Вероятность и моделирование динамических систем

Сложности частотного подхода к определению понятия вероятности свидетельствуют об ограниченности данной концепции, обнаруживая тем самым, что частотное понятие вероятности - это понятие не в своей общей форме, как пытались представить авторы данной концепции, но лишь понятие в особенной форме. Этот же самый вывод следует из анализа роли аксиоматического подхода, конкретными интерпретациями которого являются и классическое, и частотное понятия вероятности.

Аксиоматический подход (А. Н. Колмогоров). В его рамках не дается явного развернутого определения понятия вероятности, но оно задается через систему аксиом примерно так же, как алгебраические неизвестные определяются системой алгебраических уравнений. Вероятностью в таком случае можно назвать любое понятие, удовлетворяющее требованиям системы аксиом.

Не останавливаясь на аксиоматическом подходе к определению понятия вероятности подробно, замечу лишь, что подобный подход расширил область приложения теории вероятностей практически беспредельно [24]. Дело в том, что по своему существу аксиоматическое определение не фиксирует того класса объектов, к которому оно может быть приложимо, но связано лишь с набором формальных признаков. Под эти признаки посредством идеализации может быть подведено бесконечное множество классов объектов. Соответственно можно иметь бесконечное множество интерпретаций той или иной аксиоматики.

В настоящее время наибольшим признанием пользуется аксиоматика А.Н.Колмогорова, представляющая вероятность одним из случаев меры множества [25]. В то же время, в математической литературе показано, что классическое и частотное определения, формулируемые в явном виде, являются лишь одним из возможных интерпретаций аксиоматически построенной теории вероятностей, поскольку фиксируют класс объектов приложения и допускают формализацию, удовлетворяющую требованиям аксиом.

С этих позиций реальным достижением мизесовского подхода является как раз то, что была показана возможность новой (в сравнении с классической) интерпретации понятия вероятности. А это, в свою очередь, подсказывает определенные возможности дальнейшей формализации математической теории.

Следует отметить также, что трудности строго эмпирической трактовки вероятности, отмеченные выше при обсуждении проблемы тестификации, свидетельствуют в пользу необходимости разработки теоретико-содержательных представлений о вероятности, т.е. выработки представлений о вероятности как о теоретическом понятии. Соответственно этому, по-иному должен ставиться вопрос об эмпирической проверке вероятностной гипотезы. Таковую не может исчерпать эмпирический материал относительных частот.

Общий смысл постановки вопроса о разработке представлений о вероятности как теоретическом понятии выводит за рамки чисто математической проблематики. Полагаю, что он касается поиска содержательных форм вероятностного мышления. И здесь в первую очередь возникает задача соотнесения вероятности с детерминистическими представлениями в том аспекте, который ориентирует на отражение сложных отношений между объектами.

2. Проблема сложности и вероятностный детерминизм

Теперь понятно, что переход к аксиоматическому построению и развитию математической теории вероятностей выводит этот раздел знания в сферу абстракций чрезвычайно высокого уровня. При этом окончательно утрачивается связь современного понятийного аппарата теории вероятностей с исходными наглядными представлениями, выступавшими в роли интерпретаций первых понятий этой теории, которые, в свою очередь, служили отражением предшествовавшего практического опыта и определенного состояния науки.

Утрата наглядности онтологической картины, соответствующей нынешнему движению концептуального аппарата данной теории, со всей остротой поставило вопрос об основаниях введения понятия вероятности в состав большинства научных теорий. В свете данного обстоятельства и на фоне столкновения науки с проблемой сложности актуальными стали вопросы интерпретации вероятности. В то же время, трудности наиболее известных из них свидетельствуют об ограниченности традиционных путей обоснования данного понятия и необходимости обращения к иным средствам.

Надо заметить, что существуют два основных канала ввода в научный обиход понятий высокой степени абстрактности, аналогичных понятию вероятности. Соответственно, можно указать на два способа оправдания обоснования их ввода.

Напомню, что характеристика первого способа дается на базе понятий «операциональная стратагема» и «оборачивание метода», использованных К.Марксом в его «Математических рукописях» [26]. По Марксу, понятия и теории определенной степени абстракции, будучи ненаглядными по своей гносеологической природе (вследствие отсутствия непосредственной цепи, ведущей от них к сфере конкретных предметов и отношений), приобретают операциональную наглядность, становясь формой, знаком некоторой оперативной стратагемы[27].

Роль такой стратагемы в теории вероятностей выполняют два следующих постулата:

1. Закон больших чисел.

2. Центральная предельная теорема (в формулировке A.M. Ляпунова).

Сами эти постулаты получают формальное выражение в ряде требований:

Для задачи больших чисел - математическое ожидание случайной величины должно быть равно нулю и дисперсия случайной величины должна быть конечной.

Центральная предельная теорема выполнима, если существует значительное число независящих факторов, влияющих на значение случайной величины, а действие каждого фактора само по себе мало.

Но есть и другой способ, который связан с соответствующей картиной мира. Ее основные генерализации берутся из ведущих областей знания (ведущая роль той или иной дисциплины является исторически обусловленной), а также из сферы философских оснований научного знания вообще.

Обращение к мировоззренческим принципам, к философским категориям и законам имеет в данном случае тот смысл, что позволяет вскрыть качественный момент, а вместе с тем содержательную сторону абстрактных концептуальных форм научного мышления. Как показывает анализ литературы, в отношении понятия вероятности реализация подобного способа обоснования затрагивает, прежде всего, проблему детерминизма, центральный вопрос которой состоит в том, как возможно вхождение вероятности в современную науку без разрушения детерминизма.

В прежних своих работах я стремился показать, что поиск ответов на этот вопрос имеет самое непосредственное отношение к раскрытию наиболее существенных и глубоких основ вероятностных методов. Дело здесь в том, что большинство попыток вписать понятие вероятности в детерминистические рамки осуществляется посредством сопряжения его с понятиями сложности, определенности и неопределенности и рядом других, выступающих в качестве основного категориального аппарата многих отраслей науки. С другой стороны, очевидно, истолкование форм детерминации, соответствующих сложным материальным системам, не может идти в отрыве от объективного истолкования содержания идей и методов теории вероятностей, так как язык вероятностно-статистического описания оказался весьма приспособленным для выражения собственной природы таких систем.