Виктор Комаров - По следам бесконечности

В обычном эвклидовом пространстве любая прямая, продолженная неограниченно, является бесконечной. Но в искривленных пространствах бесконечность и неограниченность — не одно и то же. Строго говоря, различие между бесконечностью и неограниченностью существует и в эвклидовом пространстве — бесконечность свойство метрическое, это количественная характеристика, а неограниченность относится к структурным, так называемым топологическим свойствам пространства.

Но в искривленном пространстве это различие становится особенно ощутимым. Такое пространство может быть неограниченным, то есть не имеющим «края», границы, и в то же время конечным, то есть замкнутым в себе.

— При распространении пространственных построений в направлении неизмеримо большого, — отмечал Бернгард Риман, впервые разработавший математическую модель таких пространств, — следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе — метрическое свойство.

— Что мы хотим выразить, — писал Эйнштейн, обладавший счастливым умением с помощью наглядных образов выражать самые абстрактные идеи, — говоря, что наше пространство бесконечно? Ничего другого, как то, что мы можем прикладывать одно к другому равные тела в каком угодно числе и при этом никогда не наполним пространство. Если мы представим себе много равных кубических ящиков, то мы согласно эвклидовой геометрии помещая их один на другой, один возле другого и один за другим, можем заполнить произвольно большую часть пространства, но такое построение никогда не кончится, всегда останется место, чтобы прибавить еще кубик. Вот что мы хотим выразить, говоря, что пространство бесконечно.

В качестве примера неограниченного и в то же время конечного пространства можно привести поверхность обычного трехмерного шара. Вообразим некое двумерное существо, скажем, предельно плоского муравья, живущего в этой поверхности. Передвигаясь по ней, он нигде не наткнется ни на какие границы. И в этом смысле поверхность шара неограниченна. Но если радиус шара конечен, то и площадь его поверхности тоже имеет конечную величину.

Представить себе трехмерную сферу так же трудно, как трудно было бы воображаемым плоским существам, живущим на шаровой поверхности, представить себе двумерную сферу. Ведь, хотя такая сфера и обладает двумя измерениями, она изогнута в трехмерном пространстве.

Что же касается ньютоновских постулатов однородности пространства и времени, то эйнштейновская космология не только принимала их в качестве исходного положения, но и накладывала еще более жесткое ограничение — требование изотропии. Эти постулаты получили наименование «космологического принципа».

Другая формулировка космологического принципа состоит в том, что средние значения всех физических величия по достаточно большому объему одинаковы для любых частей Вселенной.

— Вообразим, что мы разбили Вселенную на множество таких «элементарных» областей, что каждая из них содержит большое количество галактик, — говорит А. Зельманов. — Тогда однородность и изотропия означают, что свойства и поведение Вселенной в каждую эпоху одинаковы во всех достаточно больших областях и но всем направлениям. А одним из важнейших свойств однородного изотропного пространства является его постоянная кривизна.

Таким образом, эйнштейновская космология была космологией однородной и изотропной Вселенной.

Она, подобно классической физике, описывала стационарную Вселенную, то есть такую Вселенную, которая с течением времени не только не меняется в общих чертах, но в которой вообще нет каких-либо движений достаточно крупного масштаба и средняя плотность вещества не изменяется со временем.

Итак, Вселенная Эйнштейна обладает конечным объемом, но вместе с тем она не меняется со временем — ее возраст бесконечен.

Вот тогда-то новый острослов добавил к старинной эпиграмме, о которой мы упоминали, еще две строки;

Разумеется, здесь верно лишь то, что от классических представлений о пространстве пришлось отказаться. Но это вовсе не означает, что теория относительности вернула науку к доньютоновским, аристотелевским временам. Новая физика явилась очередным шагом к еще более глубокому пониманию строения мира.

Разумеется, пространственная конечность первой космологической модели Вселенной не могла служить доказательством конечности реального пространства. Но сам Эйнштейн считал эту возможность наиболее разумной.

И все же модель — это всего лишь модель. Ответить на вопрос, в каком пространстве мы живем — эвклидовом или искривленном, — могут только наблюдения. И, в принципе, такая возможность существует.

Например, плоские обитатели двухмерной сферы могли бы установить, что живут на шарообразной поверхности, определив, что в их мире сумма углов любого треугольника больше 180°.

Мы тоже можем путем наблюдений определить величину радиуса кривизны Вселенной. Но технически это пока неосуществимо, так как для решения подобной задачи необходимо с очень большой точностью измерить огромные расстояния порядка миллиардов световых лет.

Так, благодаря созданию общей теории относительности был совершен новый весьма существенный шаг к пониманию геометрических свойств реального мира.

Стало ясно, что эта проблема значительно шире, чем просто вопрос о конечности или бесконечности пространства. Геометрия мира непосредственно связана с распределением материи. И чтобы в ней разобраться, необходимо изучить распределение и свойства различных космических объектов.

Стационарная космологическая модель Эйнштейна была первым шагом на этом новом пути.

Но только первым шагом. Очень скоро выяснилось, что реальная Вселенная — нестационарна.

В оцта из летних месяцев 1922 года в берлинском физическом журнале появилась небольшая статья никому не известного ленинградского математика Александра Александровича Фридмана (1888–1925).

Статья называлась «О кривизне пространства» и была посвящена анализу уравнений общей теории относительности.

Фридману удалось обнаружить совершенно неожиданный факт: оказалось, что эти уравнения имеют не только статические, но и нестатические решения, то есть такие решения, которым соответствуют нестационарные — расширяющиеся или сжимающиеся однородные изотропные модели Вселенной.

Согласно выводу Фридмана, «непустая», заполненная материей, Вселенная должна либо расширяться, либо сжиматься, а кривизна пространства и плотность вещества при этом соответственно уменьшаться или увеличиваться.