Карл Поппер - Открытое общество и его враги

(4) Еще одним подтверждением моей интерпретации — хотя я и не нахожу в его пользу никаких свидетельств в текстах Платона — могут послужить следующие соображения. Любопытно, что сумма √2 + √3 дает очень близкое приближение к числу π (см. Е. Воrel. Space and Time, 1926, 1960, p. 216; мое внимание к этому факту, правда, в другом контексте, привлек У. Маринелли). Поправка здесь не превышает 0.0047, т.е. составляет менее чем полторы тысячных от значения числа π. Едва ли во времена Платона было известно лучшее приближенное значение этого числа. Некоторое объяснение этому любопытному факту может состоять в том, что среднее арифметическое площадей описанного шестиугольника и вписанного восьмиугольника является хорошим приближением к площади круга. Вспомним теперь, во-первых, то, что Брайсон исследовал свойства вписанных и описанных многоугольников (см. Т. Heath, op. cit., p. 224), и, во-вторых, то, что Платон интересовался сложением иррациональных величин и поэтому должен был попытаться получить сумму √2+√3. Существуют два доступных Платону способа получения приблизительного равенства √2+√3 ≈ π, второго из которых Платон, по-видимому, не мог избежать. Весьма вероятно, что Платону было известно это соотношение, хотя он и не мог доказать, выражает ли оно строгое равенство или лишь хорошее приближение.

Если моя гипотеза подтвердится, то мы сможем ответить и на второй вопрос, о котором говорилось ранее в пункте (3) — на вопрос, почему Платон строил свой элементарный квадрат из четырех субэлементарных треугольников (полуквадратов) вместо двух, а элементарный равносторонний треугольник — из шести субэлементарных полу треугольников вместо двух. Если мы взглянем на рис. 1 и рис. 2, то увидим, что выделенной точкой на них оказывается центр описанной окружности и что на обоих рисунках представлены также ее радиусы. (На рис. 2 представлен еще и радиус вписанной окружности, однако Платон, по-видимому, имел в виду радиус именно описанной окружности, называя его при изложении метода построения равностороннего треугольника «диагональю» — см. «Тимей», 54 d-e и 54 b.)

Если мы теперь впишем элементарный квадрат и равносторонний треугольник в круг с радиусом r, то обнаружим, что сумма сторон этих двух фигур будет приближаться к π, т.е. чертеж Платона предлагает одно из простейших приблизительных решений проблемы квадратуры круга, как показано на трех наших рисунках. В свете всего сказанного можно предположить, что платоновская гипотеза и его готовность «признать победителем» того, кто сможет его опровергнуть, о чем мы говорили в пункте (3), относятся не только к общей проблеме несоизмеримости иррациональных величин, но и к частной проблеме выяснения того, выражает ли сумма √2+√3 площадь единичного круга.

Я должен еще раз подчеркнуть, что мне неизвестны непосредственные свидетельства, подтверждающие мою точку зрения на этот вопрос, однако если мы рассмотрим приведенные здесь косвенные свидетельства в ее пользу, то она может показаться не совсем невероятной. Я не думаю, что она менее вероятна, чем гипотеза Корнфорда, и если она верна, то с ее помощью мы могли бы объяснить смысл соответствующих фрагментов Платона.

(5) Если имеет какой-то смысл вывод, к которому мы пришли в пункте (2) настоящего примечания, согласно которому Платон провозгласил, что одной арифметики недостаточно, но, кроме нее, следует знать еще и геометрию, а также если верно наше предположение, что его внимание к этой науке было связано с открытием квадратных корней из двух и трех, то некоторый свет может быть пролит также на платоновскую теорию идей и на смысл широко известных замечаний Аристотеля по этому поводу. Эти соображения помогли бы нам объяснить, почему учение пифагорейцев, согласно которому вещи (или формы) являются числами, а этические идеи — числовыми отношениями, должно было исчезнуть, уступив место, как это случилось в «Тимее», доктрине, в соответствии с которой элементарные формы, пределы «περασ»— см. отрывок из «Менона», 75 d-76 а, о котором мы говорили ранее) или идеи вещей являются треугольниками. Кроме того, они объяснили бы нам также, почему следующее поколение академиков возродило учение пифагорейцев. Как только шок, вызванный открытием иррациональности, прошел, математики стали привыкать к идее, что, вопреки всему, иррациональные величины являются числами, поскольку их можно сравнивать по величине с другими (рациональными) числами. На этом этапе стало исчезать и предубеждение против пифагореизма, хотя теория, согласно которой формы являются числами или числовыми отношениями, после открытия иррациональных величин претерпела существенные видоизменения (что, по-видимому, не в полной мере осознавали сторонники новой теории). См. также «Дополнение I» в конце тома 1.

Известное изображение Фемиды с завязанными глазами, не обращающей внимание на состояние истца и держащей в руках весы — символ равенства и справедливого решения спорных проблем, символизирует эгалитаристскую идею справедливости. Это изображение, однако, не может служить аргументом в пользу того, что такая идея уже была известна современникам Платона. Как любезно сообщил мне профессор Гомбрих, такое изображение появилось в эпоху Возрождения под влиянием «Изиды и Озириса» Плутарха, а не сочинений писателей классической Греции. Вместе с тем, изображение Дике с весами является классическим (об этом изображении, автором которого является Тимократ, младший современник Платона, см. R. Eisler. The Royal Art of Astrology, 1946, pp. 100, 266 и рис. 5) и восходит, по-видимому, к Гесиоду. Гесиод отождествлял Дике с созвездием Девы, которое в Зодиаке расположено рядом с Весами. Таким образом, весы у Дике, по-видимому, играют ту же роль, что и весы, находящиеся в руках Фемиды.

«Государство», 440 c-d. Абзац заканчивается характерным сравнением со сторожевым псом: «Разве что его смирят доводы собственного рассудка, который отзовет его наподобие того, как пастух отзывает свою собаку». См. прим. 32 (2) к гл. 4.

Платон действительно подразумевает это, дважды показывая, что Сократ сомневался, где теперь следует искать справедливость. (См. 368 b и след., 432 b и след.).

Адам (под влиянием Платона) очевидно не заметил эгалитаристской теории в своем примечании к «Государству», 331 е и след., где он, скорее всего справедливо, утверждает, что «точка зрения, согласно которой Справедливость состоит в том, чтобы делать добро друзьям и зло врагам, хорошо отражает господствовавшую в Греции мораль». Однако, он не прав, когда утверждает, что эта точка зрения «была общепринятой», забывая о приведенном им самим свидетельстве (прим. к 561 е 28), показывающем, что равенство перед законом («изономия») «было гордым кличем демократии». См. также прим. 14 и 17 к настоящей главе.