В Степин - Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M

410

ЛОГИКА В РОССИИ Хотя континуум невозможно классифицировать (континуальность — это тайна человеческого разума), А. В. Кузнецов (1974) начинает классифицировать наиболее «интересные» классы суперинтуиционистских логик, а еще ранее (1971) он доказал, что всякая предтабличная суперинтуиционистская логика финитно аппроксимируема. Л. Л. Максимова, используя этот результат, показала, что их ровно три, а затем «выловила» из континуума (см. ниже результат Л. Л. Эсакиа и В. Ю. Месхи) семь пропозициональных суперинтуиционистских логик, для которых верна интерполяционная теорема (1977). Других суперинтуиционистских логик с такими свойствами не существует. Отметим также, что интуиционистская логика с дополнительной связкой отрицания детально исследуется в книге И. Д. Заславского (1978). В 1999 H. H. Непейвода установил, что любая арифметика с конечнозначной суперинтуиционистской логикой и правилом Карнапа является классической, т. е. в ней выводим исключенного третьего закон. Отметим еще несколько оригинальных результатов: в 1971 ученик А. В. Кузнецова М. Ф. Раца формулирует критерий функциональной полноты для интуиционистской логики. В связи с этим обратим внимание на результат, стоящий высочайшего признания: А. В. Кузнецов и М. Ф. Раца доказывают теорему о функциональной полноте классической логики предикатов. В. А. Смирнов (1972) впервые строит натуральное интуиционистское исчисление с е-термами и только прямыми правилами вывода для кванторов. О. М. Аншаков осуществляет конструктивизацию многозначных логик (1980, 1983). Д. П. Скворцовым и В. Б. Шехтманом (1993) предложено максимальное (в некотором точном смысле) обобщение семантики Крипке для суперинтуиционистских и модальных логик — так называемая семантика меташкал Крипке. Наконец, алгебраическим исследованиям интуиционистской логики посвящена монография Л. Л. Эсакиа (1985).

МОДАЛЬНАЯЛОГИКА. Развитие модальных логик в рассматриваемый период в первую очередь инициировалось разносторонним изучением центрального семантического понятия «истина». Может быть, в этом кроется какой-то подсознательный глубинный смысл, учитывая тот идеологический фон, на котором происходило развитие науки в целом. Для специалистов в области модальной логики большим событием было издание перевода книги Р. Фейса «Модальная логика» (1974) под редакцией и с существенными дополнениями Г. Е. Минца. Затем стали появляться отечественные монографии: Я. А. Слинин (1976), В. Н. Костюк (1978), О. А. Соло- духин (1989), Ю. В. Ивлев (1985, 1991), который предложил квазифункциональную интерпретацию модальных логик. В. И. Маркиным (1984) проведен логический анализ модальностей de re. О. Ф. Серебрянникову удается доказать теорему об устранимости сечения для кванторных расширений хорошо известных модальных систем S5 и брауэровой, а П. И. Быстрое распространяет этот результат на нормальные расширения S4. А. В. Чагровым обнаружено, что существуют антитабличные (т. е. не имеющие конечных моделей) расширения S3. Этим свойством не обладают расширения S4. Т. о., дано характеристическое отличие S3 от S4. Наконец, в 1997 выходит фундаментальный труд по модальной логике М. В. Захарьящева и А. В. Чагрова (на англ. языке). Ряд результатов, получивших мировую известность, принадлежит также Л. Л. Эсакиа, Л. Л. Максимовой, Г. Е. Минцу (точность перевода Геделя — Тарского для арифметики), А. А. Мучнику, Д. П. Скворцову, В. Б. Шехтману. А. Д. Яшину, В. В. Рыбакову, М. К. Валиеву, С. И. Мардаеву, Л. А. Чагровой, А. А. Шуму и др. Выделим результат Л. Л. Эсакиа и В. Ю. Месхи (1974, 1977) и Л. Л. Максимовой (1975) о существовании пяти пред- табличных логик в нормальных расширениях S4, а таких расширений континуум (Максимова, Рыбаков, 1974). Еще один результат мирового класса принадлежит Л. Л. Эсакиа ( 1976), который одновременноинезависимоотамериканского логика В. Дж. Блокаустановил изоморфизм решеток класса суперинтуиционистских логик и нормальных расширений модальной логики Гжегорчика Grz. Целым направлением в области модальных логик является «логика доказуемости», где гёделевский предикат доказуемости интерпретируется как модальный оператор: Л. Л. Эсакиа, С. Н. Артемов, Г. Джапаридзе, Л. Д. Беклемишев, В. Ю. Шавруков, В. Варданян и др. Работы этих авторов получили признание на международном уровне, и в итоге появился термин «Japaridze's polymodal logic» («полимодальная логика Джапаридзе»).

РЕЛЕВАНТНЫЕЛОГИКИ. Про пионерскую работу в этой области И. Е. Орлова (1928) уже говорилось. В 1963 В. В. Дон- ченко независимо от Н. Д. Белнапа (I960) формулирует принцип релевантности. Расцвет исследований в этой области приходится на 70-е гг. В книге В. А. Смирнова «Формальный вывод и логические исчисления» (1972) построена система логики, названная им «абсолютной», которая является подсистемой кванторного варианта системы R Андерсона и Белнапа. Оказалось, что импликативный фрагмент этой системы совпадает с импликативным фрагментом системы R, т. е. была переоткрыта слабая импликация Чёрча. Абсолютная система положена в основание иерархии целого ряда логических систем и представлена в форме секвенциальных исчислений ив форме натурального вывода. В этом фундаментальном труде исследуются также логики без правил сокращения (независимо и одновременно к этой проблематике приходит и В. Н. Гришин, но первая в мире публикация принадлежит Смирнову, 1971). Эта тема превратилась в самостоятельное направление, которое сейчас бурно развивается. От построения иерархии логических систем Смирнов приходит к глобальной идее классификации логических исчислений, в том числе и имплика- тивных. В результате, начиная с 1992 А. С. Карпенко строит классы конечных булевых решеток, элементами которых являются различные импликативные логики, в том числе и релевантные. Е. К. Войшвилло предлагает натуральные варианты некоторых систем релевантной логики и развивает семантику обобщенных описаний состояний (основное отличие этой семантики от классической — отказ от требований непротиворечивости и полноты описаний состояний), а также «семантику ослаблений» для системы Е. Л. Л. Максимова строит алгебраическую семантику для ряда систем; в последние годы в семантическом направлении работают Е. А. Сидоренко и Д. В. Зайцев. Г. Е. Минц (1972) и В. М. Попов (1977) доказывают разрешимость некоторых подсистем релевантной логики, а В. И. Шалак (1985) доказывает теорему о функциональной полноте для пропозициональной логики R с одной-един- ственной связкой. Исследования в области расширений Е до R привели к результату о счетности класса релевантных логик, лежащих между Е и R (E. А. Сидоренко, 1970). Л. Л. Максимовой: принадлежит гипотеза о континуальности этого класса. В 80-е гг. появляются первые отечественные монографии по релевантной логике: Е. А. Сидоренко (1983) и Е. К. Войшвилло (1988).