В Степин - Новая философская энциклопедия. Том четвёртый Т—Я

266

ФОРМАЛИЗМ мализовать. Для признания того, что ФТформализует Г, необходимыми являются, по крайней мере, следующие три условия: (1) Язык L исчисления, используемого для формализации, должен давать возможность выразить любое предложение А теории Т с помощью некоторой формулы ФГ, которая при содержательной ее интерпретации порождает предложение, которое приемлемо трактовать как выражающее ту же мысль, что и А. (2) Исходные постулаты (аксиомы) ФГпри получении из них теорем должны рассматриваться как цепочки бессодержательных символов, из которых по фиксированным правилам вывода получаются новые цепочки символов (теоремы). Иначе говоря, процесс получения теорем не должен осуществляться на основании очевидности, подтверждаемости практикой и т. п. (3) Между классом теорем ФТ и классом содержательно истинных утверждений теории Г должно быть определенное оговоренное отношение, позволяющее ФГсчитать формализацией Г (точнее об этом ниже). Пункт (2) существенным образом отличает ФГот Г. В Г не обязательно есть фиксированные правила вывода, и для получения новых утверждений можно опираться на содержательный смысл терминов и имеющийся контекст. Если, напр., в Г содержится утверждение, что событие а произошло раньше события ?, то мы обязаны по содержательным основаниям относить к верным утверждениям теории Г также и то, что ? произошло позже а. Вместе с тем мы не обязаны фиксировать это. Иначе в ФТ. Здесь логические связи между отношениями раньше и позже должны быть явным образом отображены. И если указанные отношения обозначаются как «<���» и «>» соответственно, то ФТ должна содержать правило, позволяющее переходить от (a a). Очевидно, в ФТ придется указать также на транзитивность указанных отношений. Кратко говоря, в ФТ придется отобразить логику данных отношений, необходимую для описания соответствующей предметной области. При этом сама эта логика может зависеть от того, напр., будет ли считаться время непрерывным или дискретным, бесконечно или конечно, делимым, даже если в Г эти вопросы не обсуждаются. Т. о., формализация состоит не просто в том, чтобы осуществить запись Г в некотором символическом языке, но в том, чтобы выявить и отобразить при этом логику, которой будут удовлетворять высказывания с теми терминами, которые фигурируют в Т. Решение такой проблемы является профессиональной задачей логики вообще и может исследоваться независимо от тех или иных конкретно взятых содержательных теорий и задач, связанных с их формализацией. Так, напр., в логике формализуются теории алетических, эпистемических, деонтических, временных и другие модальностей, полные относительно некоторых содержательных семантик. Вопрос о возможности формализации теории Г есть поэтому не только вопрос о готовности к этой процедуре со стороны Г, но и о том, в достаточной ли степени разработан для этой цели имеющийся логический и математический аппарат. В связи с пунктом (3) надо иметь в виду, что ФТв явном виде содержит всю необходимую для формализации теории Гло- гику и математику и соответствующий им класс правил или содержательно интерпретируемых теорем, напр., закон кон- трапозиции импликации: (А-^В)->(-*В-+-*А) и т. п., которым фактически нет соответствия в Т. Кроме того, Г обычно не детерминирует всех логических взаимоотношений высказываний, содержащих используемую в Г терминологию. Поэтому ФТ практически всегда задает ту или иную экспликацию этой терминологии. Если даже отвлечься от возможности использования в Ф Т различных базовых логик и математик, то уже только оправданные содержанием алогические различия в экспликациях терминологии позволяют построить для одной и той же содержательной теории Г множество альтернативных формализации. При этом теория Г в зависимости от того, какая конкретная формализация будет сочтена адекватной, будет в той или иной степени менять свой смысл. Дело логика указать, чем отличаются возможные альтернативы, но не в его компетенции считать какую-то из них более предпочтительной, не говоря уже более верной. Чтобы иметь возможность содержательного обсуждения теории ФГ, в частности, говорить о ее непротиворечивости, полноте, доказуемости или недоказуемости в ней теорем определенного рода, используется т. н. метаязык (в отличие от языка, на котором сформулирована Ф7), и все верные утверждения такого рода относят к метатеории МФТ Проблему формализации содержательной теории Тъ ФГмож- но считать решенной, если в рамках метатеории А/ФГудает- ся показать, что каждому истинному в принятой интерпретации предложению Т соответствует доказуемое утверждение ФТ(теорема полноты), и наоборот (теорема адекватности). В силу разных причин такого положения не всегда удается добиться. Об этом говорит, в частности, известная теорема К. Геделя (1931) о неполноте непротиворечивой формализованной арифметики. Дело в том, что некоторая формализуемая теория Г может содержать столь богатый выразительными возможностями язык, что в ее рамках могут строится утверждения о формализующей ее системе ФГи, значит, отображаться в последней. Происходит т. н. замыкание языка и метаязыка. Любая непротиворечивая формализация теории Т оказывается принципиально неполной, так как любое изменение ФТ порождает класс новых содержательно истинных в МФТ и в самой Г предложений. Именно такого рода теорией доказывается содержательная арифметика. В объектном языке формализующей эту арифметику теории ФТ можно строить утверждения о самой этой теории, которые при содержательной интерпретации становятся истинными предложениями теории Т. В ФТ воспроизводится, в частности, некоторая форма парадокса лжеца (см. Парадокс логический), т. к. всегда находится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость в ФТ Такая формула содержательно истинна именно потому, что в ФТ недоказуема. Ее истинность в Г и при этом недоказуемость в ФГговорит о неполноте последней. Теорема Геделя не исключает возможности полной формализации более узких фрагментов математики. Теореме Геделя о неполноте не следует придавать преувеличенного, во всяком случае универсального философского значения и распространять ее следствия на теории, при формализации которых принципиально отсутствуют и не могут возникнуть рассмотренные выше причины, препятствующие полной формализации всех истинных предложений содержательной математики. Лит.: Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957. Е. А. Сидоренко ФОРМАЛИЗМ — одно из четырех главных направлений в основаниях математики наряду с эффективизмом, интуиционизмом и логицизмом. Основоположником формализма является Д. Гильберт, который поставил триединую задачу в об-

267

ФОРМАЛИЗМ ласти обоснования математики, известную под названием программы Гильберта: 1. Признать, что значительная часть математических абстрактных объектов (см. Абстрактный объект) — это идеальные конструкции, не имеющие точной интерпретации во внешнем мире и вводимые прежде всего как интеллектуальные орудия для работы с реальными объектами. Более того, не все математические высказывания о реальных объектах могут считаться реальными. Назначение идеальных объектов и высказываний — перебросить мост от одних реальных высказываний к другим. 2. Точно и до конца формализовать допустимые методы работы с идеальными конструкциями, с тем, чтобы исключить здесь обращения к интуиции и апелляции к содержательному смыслу. Т. о., математика должна быть превращена в исчисление. 3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов — математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения у конструктивистов методов (финитных методов) принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений. Математическую теорию, развитую для потребностей метаматематики, Д. Гильберт назвал доказательств теорией. В качестве метода такого обоснования предполагалось доказать непротиворечивость, а по возможности и полноту, математических формализмов. По мере развития теории доказательств и теории моделей формализм все больше сближался с логицизмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. Однако имеется принципиальное методологическое отличие формализма от логицизма и от наивного платонизма. Для формалиста абстрактные объекты и понятия — не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции; он не ставит вопрос об их существовании или происхождении, это не относится к задачам формализма. Воспользовавшись достижениями логицизма, в частности трудом А. Уайтхеда и Б. Рассела, школа Гильберта уже в 20-е гг. точно сформулировала формальное исчисление для арифметики и стимулировала работы по формальной аксиоматизации множеств теории. Интенсивно велись исследования в направлении непротиворечивости и полноты построенного арифметического исчисления. Действуя под сильнейшим влиянием формализма, А. Тарский и Р. Карнап определили понятие истины и вместе с Л. Витгенштейном сформулировали важнейшие понятия верифицируемости и фальсифицируемо- ести (см. Фальсификация), связывающие идеальные высказывания с реальными. Философская суть их состоит в том, что любое утверждение должно допускать прямую либо косвенную процедуру подтверждения или опровержения. Утверждения, которые не могут быть проверены даже косвенно, — псевдопроблемы. Парадоксальным образом одним из первых теоретических конструктов, проверенных при помощи формалистских методов, явилась сама программа Гильберта. Теорема Геделя о неполноте показала, что цель-максимум ее недостижима, а его же (Геделя) теорема о недоказуемости непротиворечивости — что фальсифицируется и предложенное Гильбертом средство. Т. о., программа Гильберта не сводится к псевдопроблемам и являлась реальной программой научного исследования. Как известно, чаще всего приводят к важным результатам теоретические программы с недостижимыми, но реально проверяемыми целями. Несмотря на защиту Л. Брауэром, который в других случаях резко критиковал его, но соглашался с целями программы Гильберта, научная общественность восприняла результаты Геделя как крах программы Гильберта. Пожалуй, самым слабым местом программы Гильберта была ее общая установка на обоснование и спасение существующей математики, которая возникла как результат реакции Гильберта на пересказ ему идей Брауэра и на некоторые личные дискуссии с ним (сам Гильберт работ Брауэра не читал). В данном месте первоначальный формализм соединялся с таким математическим платонизмом, который представлял собой вульгаризированную версию абстрактных математических объектов по типу «абсолютных идей» Платона. Поэтому математические платонисты восприняли формализм как молитву, произнесение которой позволит им освятить свою деятельность и в дальнейшем ничего не менять. Именно эта установка оказалась подорвана теоремами Геделя, показавшими, что перестраивать математику все равно придется и что в ней всегда есть место сомнению. Тем не менее дальнейшее развитие подтвердило скорее точку зрения Брауэра, чем большинства. Теория доказательств стала приносить позитивные результаты. В 1936 Г. Генцен опубликовал доказательство непротиворечивости арифметики, в котором единственным неформализуемым в арифметике шагом была трансфинитная индукция до Eq, которая, безусловно, косвенно верифицируема и фальсифицируема содержательными полностью финитными методами и конструктивно приемлема. Еще раньше, в 1934, он опубликовал доказательство теоремы нормализации, из которого следовала возможность устранения промежуточных идеальных высказываний из логических выводов реальных высказываний. В 1939 П. С. Новиков установил, что из классического арифметического доказательства существования объекта, удовлетворяющего разрешимому условию, следует возможность построить такой объект. Тем самым реальные утверждения, доказуемые в арифметике, оказались обоснованными. В дальнейшем были получены оценки роста длины вывода при устранении идеальных понятий, подтвердившие прозрение Гильберта о необходимости идеальных объектов и понятий для практического получения реальных результатов. По сравнению с такими оценками даже башня из степеней двоек растет слишком медленно. Обращают на себя внимание философские и методологические достижения формализма, вошедшие в основу современной науки. Методами формализма были исследованы неклассические, в первую очередь интуиционистские, системы, что позволило показать совместимость идей Брауэра о творящем субъекте и намеренном незнании с более традиционными идеальными математическими понятиями. Различение идеальных и реальных объектов проложило путь к таким новым по своей методологии разделам математики, как нестандартный анализ, в котором действительная ось либо другая структура пополняются объектами более высокой степени идеальности т. о., чтобы сохранялись все выразимые в формальном языке свойства. Разделение на язык и метаязык оказалось плодотворным не только в логике и философии, но и в таких новых дисциплинах, как когнитивная наука и информатика. Четыре уровня метаязыкового описания используются, в частности, в практической системе построения моделей сложных систем UML.