Карл Поппер - Объективное знание. Эволюционный подход

Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание x такое, что X есть содержание x.

Таким образом, если Y — финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:

x, Y= x, у.

В этом случае можно видеть, что х, Y равно абсолютному содержанию конъюнкции х.y минус абсолютное содержание y .

Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, D будут сравнимы, если

(А + В)- В сравнимо с (С + D) - D,

где есть сложение дедуктивных систем по Тарскому: если обе аксиоматизируемы, А + D есть содержание конъюнкции а.Ь.

Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).

Мы можем написать 'p(x, Y)' или

P(X,Y)

(читается как «вероятность х при условии Y ») и применить формальную систему аксиом для относительной вероятности, которую я изложил в других местах (например, в моей L. Sc. D., Новые приложения *iv и *v [52]) . В результате p(x,Y) будет числом от 0 до 1 — обычно мы не имеем представления о том, каким именно числом — и мы можем утверждать в самом общем виде, что

р(а, В) и р(c, D) в принципе совместимы.

И хотя мы обычно не имеем в нашем распоряжении достаточной информации для решения вопроса о том, имеет ли место

р(а, В)⩽ р(с, D)или p(а, В) ⩾p(с, D),

мы можем утверждать, что по крайней мере одно из этих отношений должно иметь место.

В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.

Как я неоднократно показывал, содержание А высказывания а будет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а) или р(А). Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру» содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):

сt(а),

или (абсолютное) содержание а, а также относительные меры

ct(a, b) и ct(a, В),

то есть относительное содержание а при условии, соответственно, b или В. (Если В аксиоматизируемо, то мы, конечно, сразу же получаем ct(a,b) = ct(a,В).) Эти «меры (measures)* ct можно задать с помощью исчисления вероятностей, то есть с помощью определения

сt(а, В)= 1 - р(а, В).

Теперь в нашем распоряжении есть средства для определения (мер) истинностного содержания ct T(a) и ложностного содержания ct F(a):

ct T(a) = ct(A T),

где A T, как и раньше, есть пересечение А и системы, в смысле Тарского, всех истинных высказываний; и

ct F(a) = ct(a, A T))

то есть ложностное содержание (его мера) есть относительное содержание (его мера) а при данном А T — истинностном содержании а. Другими словами, это есть степень, в которой а выходит за пределы тех высказываний, которые (а) следуют из а и (b) истинны.

С помощью сформулированных в предшествующем разделе идей мы можем теперь четче разъяснить то, что мы интуитивно понимаем под правдоподобностью (verisimilitude). Говоря интуитивно, теория Т 1 менее правдоподобна, чем теория Т 2, если и только если (а) их истинностные содержания и их ложностные содержания (или их меры) сравнимы, и либо (b) истинностное содержание, но не ложностное содержание, у Т 1 меньше, чем соответствующее содержание либо (с) истинностное содержание Т 1 не больше, чем истинностное содержание Т 2, но ложностное содержание у нее больше. Короче, мы говорим, что T 2ближе к истине, или больше похожа на истину, чем Т 1 , если и только если из нее следует больше истинных высказываний, но не больше ложных высказываний, или по крайней мере столько же истинных высказываний, но меньше ложных.

В общем виде мы можем сказать, что только конкурирующие теории — такие как теории гравитации Ньютона и Эйнштейна — интуитивно сравнимы с точки зрения их (неизмеренного) содержания. Вместе с тем существуют и конкурирующие теории, не сравнимые друг с другом.

Интуитивную сравнимость содержания теорий Ньютона (N) и Эйнштейна (Е) можно установить следующим образом [53]: (а) на каждый вопрос, на который дает ответ теория Ньютона, теория Эйнштейна дает ответ, по крайней мере столь же точный; это значит, что содержание (его мера), в несколько более широком, чем у Тарского, смысле [54], теории N меньше или равно содержанию теории Е; (Ь) есть вопросы, на которые теория Эйнштейна Е дает (нетавтологический) ответ, в то время как теория Ньютона N не дает на него ответа; это значит, что содержание N определенно меньше, чем содержание Е.

Итак, мы можем интуитивно сравнить содержания этих двух теорий и увидеть, что теория Эйнштейна имеет большее содержание. (Можно показать, что этот интуитивный результат подтверждается мерами содержания ct(N) и ct(E)). Это значит, что теория Эйнштейна потенциально, или виртуально, лучше, поскольку даже до всякой проверки мы можем сказать: если она верна, то ее объяснительная сила больше. Более того, это обстоятельство бросает нам вызов — предпринять более разнообразные проверки этой теории. Таким образом, оно предлагает нам новые возможности больше узнать о фактах: без вызова, брошенного нам теорией Эйнштейна, мы никогда бы не измерили (с необходимой высокой точностью) видимое расстояние между звездами, окружающими Солнце, во время затмения или красное смещение света, испускаемого белыми карликами.

Таковы некоторые из преимуществ (логически) более сильной теории, то есть теории с большим содержанием, существующих даже до того, как эта теория была проверена. Они делают ее потенциально лучшей теорией, более вызывающей теорией.

При этом более сильная теория, то есть теория с более богатым содержанием, будет в то же время иметь большую правдоподобность, если только ее ложностное содержание не будет также больше.

Это утверждение образует логическую основу метода науки — метода смелых предположений и попыток их опровержения. Теория тем более дерзка, чем больше ее содержание. Такая теория также является и более рискованной: начнем с того, что она с большей вероятностью может оказаться ложной. Мы пытаемся найти ее слабые места, опровергнуть ее. Если нам не удастся опровергнуть ее или если найденные нами опровержения окажутся в то же время опровержениями и более слабой теории, которая была предшественницей более сильной [55], тогда у нас есть основания заподозрить или предположить, что более сильная теория имеет не больше ложностного содержания, нежели ее более слабая предшественница, и, следовательно, что она имеет большую степень правдоподобности.