Георг Вильгельм Фридрих Гегель - Учение о бытии

В связи с этим можно прибавить, что утверждение Канта о синтетическом свойстве основоначал чистой геометрии также мало основательно. Признавая, что многие из них в действительности суть аналитические суждения, он приводит в доказательство первого мнения лишь то основоположение, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. «Именно мое понятие о прямизне не говорит ничего о величине, а только о качестве; понятие кратчайшего привнесено, стало быть, совершенно извне и никаким расчленением не может быть извлечено из понятий прямой линии ; следовательно, здесь должно прибегнуть к пособию воззрения , которое делает синтез единственно возможным». Но тут идет речь не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а эта последняя есть уже нечто протяженное, наглядное. Определение же (или, если угодно, понятие) прямой линии состоит, конечно, ни в чем ином, как в том, что она есть только простая линия, т. е. что в своем выходе вне себя (так называемом движении точки) относится только к себе, что в ее протяжении не положено никакого различия определений, никакого отношения к какой-либо точке или линии вне ее: она есть только в себе простое направление . Эта простота есть конечно ее качество, и если по-видимому прямую линию трудно определить аналитически, то единственно вследствие определения простоты или отношения к себе самой и просто потому, что при определении рефлексия прежде всего имеется в виду преимущественно множественность, определение {131}через другое; но просто для себя нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения в себе, это отсутствие определения через другое; определение Евклида не содержит в себе ничего, кроме этой простоты. Переход же этого качества в количественное определение (кратчайшей), в котором должен состоять синтез, совершенно аналитический. Линия, как пространственная, есть количество вообще; простейшее, что может быть сказано о количестве, есть наименьшее , и это, высказанное о линии, есть кратчайшее . Геометрия может принять эти определения, как дополнение к определению; но Архимед в своих Книгах о шаре и цилиндре поступил всего целесообразнее, установив определение прямой линии, как аксиому, столь же правильно, как поступил Евклид , поставив в числе аксиом определение, касающееся параллельных линий, так как развитие его, чтобы стать настоящим определением, потребовало бы также не относящихся непосредственно к пространственности, но более отвлеченных качественных определений, каковы в применении к линии простота, равенство направления и т. п. Эти древние сообщили и своим наукам пластический характер, строго ограничивая свое изложение особенностями данного содержания, а потому исключая то, что было бы разнородно ему.

Понятие, которое Кант установил в учении о синтетических суждениях a priori — понятие различного , которое вместе с тем нераздельно, тожественного , которое само по себе есть нераздельное различие , принадлежит к тому, что в его философии есть великого и бессмертного. Правда, воззрению также присуще это понятие, так как последнее есть понятие, как таковое, и все в себе есть понятие, но определения, которые даны в приведенных примерах, не выражают его; напротив, число и счет чисел есть тожество и произведение тожества, которые суть лишь внешний, поверхностный синтез, единство единиц, которые в них не тожественны между собою, но положены лишь как внешние, раздельные для себя; в прямой линии то определение, что она есть кратчайшая между двумя точками, содержит в себе скорее лишь момент отвлеченно тожественного, не основываясь на различении в нем самом.

Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид счета, вычитание , есть также совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, вообще определяются, лишь как неравные одно относительно другого.

2. Ближайшее определение есть равенство чисел, подлежащих нумерации. Вследствие этого равенства, число есть единица , и в нем выступает различие единицы и определенного числа. Умножение имеет задачею сосчитать вместе определенное число таких единиц, которые сами суть определенные числа. При этом безразлично, какое из обоих чисел полагается за единицу, и какое за определенное число, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть определенное число, а три — единица, или, наоборот, трижды четыре. Выше уже указано, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простой нумерации, т. е. отсчитывания {132}на пальцах и т. п.; позднее возможность непосредственного получения произведения основывается на собрании таких произведений, на таблице умножения и на выучивании ее наизусть.

Деление есть отрицательный вид счета по тому же определению различия. При этом также безразлично, какой из двух его факторов, делитель или частное, принять за единицу или за определенное число. Делитель принимается за единицу, а частное за определенное число, если задача деления полагается в том, чтобы узнать, сколько раз (определенное число) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель считается определенным числом, а частное единицею, когда требуется разделить данное число на данное определенное число равных частей и найти величину последних (единицы).

3. Оба числа, которые определяются одно в противоположность другому, как единица и определенное число, как числа, непосредственно противоположны и потому вообще неравны . Дальнейшее равенство есть равенство самых единицы и определенного числа; таким образом заканчивается движение к равенству определений, заключающихся в определении числа. Счисление согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательный вид этого счисления — извлечение корня) и именно прежде всего возвышение числа в квадрат , полная определенность счета в себе самом, при которой 1) многие слагаемые числа суть одни и те же и 2) их множество или определенное число само тожественно многократно положенному числу, единице. Более не оказывается никаких определений в понятии числа, которые представляли бы собою различие; не имеет места и дальнейшее приравнивание различия, заключающегося в числе. Возвышение в степени, высшие, чем квадрат, есть формальное продолжение того же процесса, причем отчасти — при четных показателях — происходит лишь повторение возвышения в квадрат, отчасти, при нечетных показателях, вновь выступает неравенство; при формальном же равенстве (напр., прежде всего при кубе) нового фактора как с определенным числом, так и с единицею, он является единицею против числа (квадрат, 3 против 3*3) неравное. Еще более при кубе четырех, где определенное число, 3, указывает на то, сколько раз число, составляющее единицу, множится само на себя, отлично от него. Тут даны определения сами по себе, как существенное различие понятия, определенное число и единица, которые должны быть приравнены для того, чтобы выход из себя вполне возвратился в себя. В только что изложенном заключается далее основание, почему с одной стороны решение уравнений высших степеней должно сводиться к решению квадратных уравнений, а с другой — почему уравнение нечетных степеней определяются лишь формально, и именно если корни рациональны, то последние могут быть найдены не иначе, как при помощи мнимых выражений, представляющих собою противоположность того, что суть и выражают собою корни. Арифметический квадрат, согласно вышесказанному, один содержит в себе простую определенность, вследствие чего уравнения высших формальных степеней должны {133}быть приводимы к нему; подобно тому как в геометрии прямоугольный треугольник содержит в себе простую определенность в себе, выражающуюся в пифагоровой теореме, вследствие чего к ней также приводятся для полного определения все прочие геометрические фигуры.