Георг Вильгельм Фридрих Гегель - Учение о бытии

Арифметика рассматривает числа и их фигуры или, правильнее, не рассматривает их, а действует над ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в отношение извне . Способы этого отношения суть виды счета (Rechnungsarten). Они излагаются в арифметике один после другого, и становится ясным, что один зависит от другого. Нить, руководящая их последовательностью, не выясняется, однако, в арифметике. Но из определения понятия самого числа легко вытекает то систематическое сопоставление, которое законно требуется изложением этих начал в учебниках. На эти основные определения должно здесь вкратце обратить внимание.

Число по своему принципу, одному, есть вообще нечто внешне сочетанное, просто аналитическая фигура, не содержащая в себе никакой внутренней связи. Так как оно есть лишь внешним образом произведенное, то каждый счет есть произведение чисел, считание или определеннее — сосчитывание . Различие этого внешнего произведения, совершающего постоянно одно и то же, может заключаться лишь во взаимном различении сосчитываемых чисел; такое различение само должно проистекать из чего-либо другого и из внешнего определения.

Качественное различие, составляющее определенность числа, есть, как мы видели, различие единицы и определенного числа ; к ним сводится поэтому вся определенность понятия, которая может иметь место в видах счета. Различие же, которое присуще числам, как определенным количествам, есть внешнее тожество и внешнее различение, равенство и неравенство , причем эти рефлективные моменты имеют быть рассмотрены при категории различения, как определении сущности [21] Во второй части логики. — Прим. перев . .

Далее нужно предпослать то заключение, что числа могут вообще быть производимы двумя способами, или через присовокупление, или через отделение из образованной уже совокупности; и так как каждое имеет место относительно образованного одним и тем же способом вида числа, то присовокуплению чисел соответствует то, что может быть названо положительным видом счета, а отделение — тому, что может быть названо отри {129} цательным видом счета; определение же самого вида счета не зависит от этой противоположности.

1. После этих замечаний перейдем к изложению способов счета. Первое образование числа есть совокупление многих, как таковых, т. е. из коих каждое положено, лишь как одно — нумерация (счисление). Так как одни противоставлены одно другому, как внешние, то они изображаются в чувственном образе, и действие, через которое производится число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., может быть лишь показано . Остановка на том, сколько сосчитано, поскольку граница есть нечто внешнее, есть нечто случайное, произвольное. Различение определенного числа и единицы, вступающее в силу при процессе счета, обосновывает собою систему — двоичную, десятиричную и т. д. — счисления; она в общем зависит от произвольного выбора за новую, постоянную единицу того или иного определенного числа.

Возникающие через нумерацию числа вновь подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они определяются еще без всякого отношения одно к другому, безразлично относительно равенства и неравенства, в случайной относительной величине, — поэтому вообще, как неравные , — сложение . Что 7 и 5 составляют двенадцать, узнается таким путем, что к 7 принумеровывается еще 5 одних по пальцам или иным способом, результат чего удерживается затем в памяти наизусть , так как в этом случае нет ничего внутреннего. Равным образом мы узнаем, что 7*5=35, через счет по пальцам и т. п., прибавляя к одной семерке еще другую, повторяя это пять раз и затем также удерживая результат в памяти. Труд такой нумерации, нахождение сумм и произведений, совершается при помощи «одно да одно» или «единожды одно одно», чтó также можно выучить лишь наизусть.

Кант (во «Введении к критике чистого разума», V) считает предложение 7+5=12 синтетическим. «Правда, говорит он, можно бы было сначала подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, получаемое из понятия суммы семи и пяти по началу противоречия». Понятие суммы не означает ничего более, кроме того отвлеченного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом, как числа, внешним образом, т. е. без помощи понятий, что начиная с семи нужно продолжать нумерацию до тех пор, покуда будут исчерпаны прибавляемые единицы, счетом до пяти; результат носит уже известное заранее название двенадцати. «Но, продолжает Кант, при ближайшем рассмотрении оказывается, что понятие суммы 7-ми и 5-ти не содержит ничего, кроме соединения двух чисел в одно, причем вовсе не мыслится о том, какое это одно число, соединяющее в себе оба»; …«сколько бы я ни расчленял мое понятие о такой возможной сумме, я все же не найду в ней двенадцати». Действительно, с мыслию о сумме, с расчленением понятия, переход от этой задачи к ее результату не имеет ничего общего; «должно выйти за пределы этих понятий , прибегнуть к помощи воззрения, пяти пальцев {130}и т. п. и присоединить таким образом к понятию семи единиц данные в воззрении пять», прибавляет он. Конечно, пять дано в воззрении, т. е. есть совершенно внешнее сочетание произвольно повторенной мысли, одного; но и семь есть столь же мало понятие; здесь нет никаких понятий, за пределы которых выходят. Сумма 5-ти и 7-ми означает чуждое понятию соединение обоих чисел; этот столь чуждый понятию счет, начиная от семи, продолженный до тех пор, пока будет исчерпано пять, можно назвать сочетанием, синтезированием, также как нумерацию одних — синтезированием, которое, однако, имеет совершенно аналитическую природу, так как это связь совершенно искусственная (gemacht), в нее не привзошло ничего, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 с 5-ю относится к требованию нумерации вообще, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.

Насколько пусто выражение «синтез», настолько же пусто то определение, что он происходит а priori . Правда, счет не есть определение чувственное, остающееся а posteriori при принятии кантова определения воззрения, и счет есть, конечно, действие на почве отвлеченного воззрения, т. е. такого, которое определяется категориею одного, причем отвлекается как от всех прочих чувственных определений, так и от понятий. А priori есть вообще нечто неопределенное; чувственное определение — стремление, чувство и т. п. — также содержит в себе момент априорности, а с другой стороны пространство и время, как существующее, временное и пространственное, определяются а posteriori.