Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

— Знаешь, пап, вот я смотрю в небо, и мне все равно не верится, что Земля и вправду движется — и не только сама крутится вокруг оси, так еще и летит куда-то со скоростью сто тысяч километров в час, — хоть на самом деле я и знаю, что все это должно быть правдой.

Она замолчала и некоторое время просто стояла, глядя на звезды.

— Пап, расскажи мне о звездах…

The Emperor's New Mind. (He так давно книга была переведена на русский язык: Пенроуз Р. Новый ум короля, М.: Едиториал УРСС. 2003.) — Прим. перев.

В оригинале «it» — местоимение третьего лица единственного числа, которым в английском языке называют животных и неодушевленные предметы, независимо от их пола и/или рода. — Прим. перев.

Микросхема Intel Pentium содержит более трех миллионов транзисторов на «кремниевой пластине» размером с ноготь большого пальца, причем каждый из этих транзисторов способен на 113 миллионов полных циклов в секунду.

Эпифеномен — побочное явление, сопутствующее другим явлениям (феноменам), но не оказывающее на них никакого влияния. — Прим. перев.

Напомним, что здесь и далее приводятся страницы оригинального английского издания. — Прим. перев.

Время от времени математики натыкаются на процедуру, которая «очевидно» алгоритмична по своей природе, пусть даже порой не всегда бывает ясно, как эту процедуру можно сформулировать в виде операций машины Тьюринга или лямбда-исчисления. В таких случаях можно утверждать, что, «согласно тезису Черча», такая операция и в самом деле должна существовать. См., например, [ 67]. В этом пути нет ничего зазорного, и, уж конечно, не возникает никакого противоречия с C . Более того, на таком толковании тезиса Черча основывается большая часть рассуждений главы 3.

В черновом варианте книги слова «извилистой» здесь не было. Если шары расположены точно на прямой линии, этот трюк оказывается достаточно простым: я узнал об этом, к своему удивлению, когда попробовал проделать это сам. При расстановке шаров по прямой возникает неожиданная устойчивость, отсутствующая в общем случае.

Необходимо отметить, что это равенство не является истинным для различных странных «чисел», встречающихся порой в математике, — например, для трансфинитных чисел, о которых упоминается в пояснении к Q19, §2.10. Однако для натуральных чисел, о которых здесь, собственно, и идет речь, оно всегда справедливо.

Здесь я предполагаю, что если процедура А вообще завершается, то это свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости C ( n ). Если же А «застревает» по какой-либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то это означает, что в данном случае процедура A корректно завершиться не может. См. далее по тексту возражения Q3и Q4, а также Приложение А.

Собственно, точно такой же результат достигается посредством процедуры, выполняемой универсальной машиной Тьюринга над парой чисел q , n ; см. Приложение Аи НРК, с. 51-57.

Термин «алгоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для обозначения «точки зрения A » в моей классификации, был предложен Хао Ваном [ 377].

Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.

Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции C k ( k ) машины Тьюринга посредством алгоритма A . Здесь предполагается, что алгоритм A задан в виде машины Тьюринга T a . определение же вычисления C q ( n ) кодируется как операция машины T a над числом q , а затем над числом n .

Представление некоторых формальных систем включает в себя бесконечное количество аксиом (они описываются через посредство структур, называемых «схемами аксиом»), однако, чтобы оставаться «формальной» в том смысле, какой вкладываю в это понятие я, система должна быть выразима в каком-то конечном виде — например, упомянутая система с бесконечным количеством аксиом должна порождаться конечным набором вычислительных правил. Это вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными системами, которые применяются в математических доказательствах, — одной из таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело—Френкеля» ZF, описывающая традиционную теорию множеств.

Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G ( F) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Ω( F), в чем мы убедимся ниже.

Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Иожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!

Как и ранее, обозначение G ( F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на Ω( F). То же справедливо и для комментариев к Q15- Q20.

Это означает, что при кодировании машины Тьюринга каждую последовательность … 110011… можно заменить на … 11011… . В спецификации универсальной машины Тьюринга, описанной в НРК (см. примечание 7 после главы 2), имеется пятнадцать мест, где я этого не сделал. Чрезвычайно досадная оплошность с моей стороны, и это после того, как я приложил столько усилий, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности наименьшего номера, определяющего эту универсальную машину. Упомянутая простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30 000 раз! Я благодарен Стивену Ганхаусу за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию и подтвердил, что она действительно определяет универсальную машину Тьюринга.

Более того, сам Тьюринг первоначально предполагал вообще останавливать машину всякий раз, когда она повторно переходит во внутреннее состояние «0» из любого другого состояния. В этом случае нам не только не понадобилось бы вышеупомянутое ограничение, мы спокойно могли бы обойтись и без команды STOP. Тем самым мы достигли бы существенного упрощения, поскольку последовательность 11110в качестве команды нам была бы уже не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы избавиться от последовательности 111110. Это значительно сократило бы длину предписания K , и, кроме того, вместо пятеричной системы счисления мы обошлись бы четверичной.