Юрий Ивлев - Логика для юристов: Учебник.

Операции алгебры логики “•” и “” соответственно понимаются как конъюнкция и дизъюнкция, операция “-”— как логическое отрицание. Свойства этих операций описываются посредством тождеств 1—13. В качестве знака логического тождества (равенства) употребляется символ “=”.

Правильность некоторых из этих тождеств очевидна, а некоторых — нет. Постараемся пояснить неочевидные тождества, чтобы у читателя появилась уверенность в их правильности.

1. А • В = В • А;

A  B =B  A.

Тождества 1 устанавливают, что в суждениях с союзами, являющимися конъюнкцией и дизъюнкцией, члены конъюнкции и дизъюнкции можно переставлять.

2. А • (В • С) = (А • В) • С;

A  (B  C) = (A  B)  C.

Эти тождества устанавливают, что последовательность применения к суждениям одной и той же операции “•” или “” может быть любой. Правильность этих тождеств очевидна, поскольку в естественном языке скобки в таких случаях вообще не употребляются.

3.А • (В  C) =A • В  A • С;

А  (В • С) = (А  В) • (А  С).

Знак “•” здесь связывает теснее, чем “”.

В элементарной алгебре есть аналог первого из этих тождеств:

а • (в+с) = (а • в) + (а • с);

аналога второго из них тождеств нет, так как равенство:

а+(в • с) = (а+в) • (в+с) неверно в элементарной алгебре.

Пример суждений, тождественных в силу первого из тождеств 3: “Петров знает английский язык, и он знает французский или немецкий”, “Петров знает английский и французский языки или Петров знает английский и немецкий языки”. Если тождество не кажется очевидным, то его можно проверить при помощи таблицы истинности.

4. А • А = А;

А  А= А.

На основе тождества 4 повторения в сложных суждениях можно сократить.

5. А  (А • В) = А;

А • (А  В) = А.

6. А  0 = А; А • 1 = А;

A l = 1; A • 0 = 0.

_

7. A  A

_

8.А • А = 0.

____ _ _

9. А • В = А  В;

____ _ _

А  В = А • В.

_

10. А • В  A • В = А;

_

(A  B) • (А  В) = А.

_

11. A • B  B = A  B;

_

(А  В) • В = А • В.

=

12. А = А.

_ _

13. 0 = 1; 1 = 0.

Отрицая ложь, получим истину, и наоборот.

В главе V в качестве переменных для суждений использовались символы р, q, r, s и эти же символы с нижними индексами. В том же значении эти символы будут употребляться и в этой главе. Последовательность символов, получаемую в результате замены простых суждений, входящих в сложное суждение, пропозициональными переменными, а союзов “и” и “или” — символами “•” и “”, отрицания — символом “-”, будем называть формулой. Например, суждению "Понятые не приглашены или протокол не составлен" соответствует формула: _ _

p  q.

Формулами являются также пропозициональные переменные и символы 1 и 0.

На основе тождеств 1—13 можно преобразовывать формулы. Например,

____

из формулы p  q • q можно получить тождественную ей формулу 0 следующим образом:

___

1) p  q • q — исходная формула;

_ _

2) р •q •q — из 1) на основе Т9 (тождества 9);

_

3) р • 0 — из 2) на основе Т8;

4) 0 — из 3) на основе Т6.

Установлено, что исходная формула тождественна 0, то есть суждение, которому эта формула соответствует, является ложным.

Из того как использовались тождества 1—13 можно уяснить, что в них буквами А, В, С обозначаются формулы.

Построенная алгебра имеет и другие интерпретации.

Рассмотрим одну из таких возможных интерпретаций. Пусть буквами А, В, С обозначаются объемы понятий (классы предметов), а символами “•”, “”, “-”соответственно операции пересечения, объединения классов, дополнения к классу в некотором универсуме.

Пересечением классов А и В называется новый класс А • В, элементами которого являются те и только те предметы, которые принадлежат как классу А, так и классу В. Графически этот класс изображается заштрихованной частью кругов А и В:

Объединением классов А и В называется новый класс A  В, элементами которого являются все элементы классов А и В. Графически этот класс представляется заштрихованной поверхностью круговой схемы:

Пусть нулем обозначается нулевой (пустой) класс, а единицей — универсальный, то есть класс, включающий все предметы исследуемой области. Тогда дополнением к классу А в универсальном классе называется класс А, элементами которого являются все элементы универсального класса, за исключением элементов класса А. Обозначим на схеме универсальный класс прямоугольником. Класс А представляется заштрихованной поверхностью.

Для иллюстрации первого из тождеств 3 посредством этой интерпретации начертим три пересекающихся круга А, В, С.

Чтобы получить класс А • (BC), сначала осуществим объединение классов В и С.

Класс BC представлен заштрихованной поверхностью круговой схемы.

Теперь осуществим пересечение классов А и BC:

В результате получим класс А•(BC), представленный поверхностью круговой схемы, заштрихованной дважды.

Затем начертим еще три пересекающихся круга А, В, С. Для графического изображения класса A•BA•C (правой части первого из тождеств 3) представим сначала графически класс АВ:

Затем представим графически класс А•С:

Объединение классов А•В и А•С представляется заштрихованной поверхностью схемы:

При этом оказывается, что классы А•(BC) и A•BA•C совпадают, что подтверждает правильность первого из тождеств 3.

Предлагаем читателю самостоятельно обосновать правильность второго из тождеств 3 описанным способом.

Алгебра логики используется при проектировании сигнализации. Пусть руководитель органа внутренних дел формулирует следующие условия работы сигнализации с охраняемого объекта: “желтый световой сигнал у дежурного по объекту включается ночью, если на каком-либо этаже здания, кроме первого этажа появляется человек; если на одном из этих этажей оказываются два человека, то гаснет желтый сигнал и загорается зеленый; если там оказываются три человека, то горят оба сигнала; при появлении на указанных этажах четырех человек горит красный свет; в том случае, когда на этих этажах находится более четырех человек, звучит сирена — сигнал тревоги (можно, например, считать, что в ночное время на эти этажи могут приходить только четыре человека)”.