Георгий Рузавин - Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов.

В простейшем исчислении предикатов, которое называют также узким или исчислением предикатов первой ступени, в качестве значения переменных будут рассматриваться индивиды или объекты. Но можно в качестве значений переменных брать также предикаты, связанные кванторами. Такое исчисление называют исчислением предикатов второй ступени. Дальнейшие обобщения приводят к исчислениями предикатов высших ступеней.

Так же, как и в исчислении высказываний, мы будет предполагать, что высказывание Р(х,у), получаемое при любой паре значений из области ее значений, может быть либо истинным, либо ложным. Другими словами, в исчислении предикатов, как и в исчислении высказываний, выполняется закон исключенного третьего. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, сама процедура получения значения истинности сложного высказывания, состоящего из элементарных высказываний, значительно усложняется: ведь в таком случае с ним приходится соотносить не один, а пару, тройку или вообще n-ку объектов из области значений переменных.

Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Уже в традиционной логике суждения классифицировались не только по качеству, но и по количеству, т.е. общие суждения отличались от частных и единичных. Но никакой теории о связи между ними не было. Современная логика рассматривает количественные характеристики высказываний в специальной теории квантификации, которая составляет неотъемлемую часть исчисления предикатов.

Для квантификации (количественной характеристики) высказываний эта теория вводит два основных квантора: квантор общности, который мы будем обозначать символом (х), и квантор существования, обозначаемый символом (Ех). Они ставятся непосредственно перед высказываниями или формулами, к которым относятся. В том случае, когда кванторы имеют более широкую область действия, перед соответствующей формулой ставятся скобки.

Квантор общности показывает, что предикат, обозначенный определенным символом, принадлежит всем объектам данного класса или универсума рассуждения.

Так, суждение: "Все материальные тела обладают массой" можно перевести на символический язык так:

(х) М (х),

где х - обозначает материальное тело:

М - массу;

(х) - квантор общности.

Аналогично этому утверждение о существовании экстрасенсорных явлений можно выразить через квантор существования:

(Ех) Э (х),

где через х обозначены явления:

Э - присущее таким явлениям свойство экстрасенсорности;

(Ex) - квантор существования.

С помощью квантора общности можно выражать эмпирические и теоретические законы, обобщения о связи между явлениями, универсальные гипотезы и другие общие высказывания. Например, закон теплового расширения тел символически можно представить в виде формулы:

(х) (Т(х) → P(х)),

где (х) - квантор общности;

Т(х) - температура тела;

Р(х) - его расширение;

→ знак импликации.

Квантор существования относится только к определенной части объектов из данного универсума рассуждений. Поэтому, например, он используется для символической записи статистических законов, которые утверждают, что свойство или отношение относится только для характеристики определенной части изучаемых объектов.

Введение кванторов дает возможность прежде всего превращать предикаты в определенные высказывания. Предикаты сами по себе не являются ни истинными, ни ложными. Они становятся таковыми, если вместо переменных либо подставляются конкретные высказывания, либо, если они связываются кванторами, квантифицируются. На этом основании вводится разделение переменных на связанные и свободные.

Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или существования. Например, формулы (х) А (х) и (х) (Р (х) → Q(x)) содержат переменную х. В первой формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой - квантор распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату, так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и др.

Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.

С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования. Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью формулы:

(Ex) R(x),

где R обозначает свойство радиоактивности.

Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех) (К(х) → P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р - "заболеть раком". С известными оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности: (х) (К(х) → Р(х)). Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным, и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.

Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось, квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п. Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.

Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.

Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.