Василий Налимов - Разбрасываю мысли

И, сколь бы странным это ни казалось, возможно, что философское обновление придет через математику. Математика в своих практических применениях многолика. Несколько схематизируя, мы рассмотрим три, как нам представляется, главных направления в математизации знаний.

Первое из них – это эмпирико-математическое направление. Математик-модельер строит модель, опираясь, с одной стороны, на представленные ему эмпирические данные, с другой стороны – на расплывчатые пояснения исследователя-экспериментатора. Иногда задача выбора модели переходит в руки экспериментатора – за математиком остается только консультационное обеспечение. Математика здесь выступает скорее всего просто как некий новый язык, позволяющий компактно и вразумительно представить экспериментальные данные. Напомним, что Р. Фишер, один из создателей математической статистики, считал, что ее задача – редукция данных. Компактное представление данных делает их легкообозримыми, и в силу этого модель, с помощью которой достигнута эта редукция, может обрести эвристическую силу. Но в этом подходе сама математика не привносит каких-либо принципиально новых идей, она остается только инструментом, раскрывающим то, что заложено в экспериментальных данных. Это путь аналитический, а не синтетический. Вряд ли можно думать, что такое обращение к математике приведет к построению теоретической биологии.

Второе направление – это параматематическое моделирование. Математик или, даже чаще, инженер развивает новую, порождаемую математикой, но лежащую уже вне ее (но около нее) дисциплину, ориентированную на решение целого семейства задач, близких по своей формальной постановке, но относящихся к областям, предметно далеко отстоящим друг от друга. Обращение к эксперименту здесь носит преимущественно поверхностный характер: он интерпретируется в рамках заранее разработанной модели слишком общего характера, не позволяющей провести тот скрупулезный анализ данных, который имеет место в первом подходе. Приведем несколько примеров второго направления математизации знаний. Одним из них может быть столь популярная сейчас теория размытых множеств , развиваемая американским ученым Л.А. Заде [Zadeh, 1965; 1978]. Другими примерами являются общая теория систем (или системотехника) и упоминавшаяся нами ранее теория катастроф Р. Тома (в ее основе лежат собственно математические построения – теория особенностей и теория бифуркаций ); сюда же, наверное, можно отнести и теорию устойчивости динамических систем . Такого рода построения иногда могут быть вполне изящными, хотя, как правило, они не имеют глубокого собственно математического значения (приятным исключением оказалась теория информации : возникнув из решения конкретной инженерной задачи, она вскоре обрела статус математической дисциплины, правда, при этом оказавшись уже в значительной степени отчужденной от прикладных задач). По отношению к миру эмпирических наблюдений параматематические построения выступают скорее в роли метафор, часто существенно облегчающих осмысление наблюдаемых явлений. Скажем, в отличие от классической теории устойчивости, теория катастроф допускает существование нескольких структурно стабильных аттракторов в фазовом пространстве, притягивающих переходные – соседние неустойчивые режимы. Так открывается возможность моделирования морфогенеза. Но слабость теории катастроф в ее излишней всеобщности – возможности исследовать, кажется, все скачкообразные переходы. Она может быть с одинаковым успехом использована не только в биологии и лингвистике, но также, скажем, и в оптике, и при моделировании психических заболеваний, устойчивости кораблей, восстаний заключенных в тюрьмах и т. д. [Арнольд, 1983]. Вряд ли подход, обладающий столь широким охватом, может обрести ту специфичность, которая необходима для того, чтобы он мог стать основой развития теории живого. В то же время мы отдаем себе отчет в том, что теоретическая биология не может возникнуть из объединения специфически ориентированных математических моделей, которыми заполнена, скажем, биофизика. Где лежит эта ускользающая от взора грань между всеобщностью и специфичностью и нужно ли ее искать или разумнее направить усилия на поиск иного решения задачи? Отметим здесь и еще одно явление, имеющее отношение уже не столько к самой науке, сколько к социологическим аспектам ее развития. Параматематические направления мысли удивительно легко выходят на путь широкой рекламы, чуждый серьезной науке. Так случилось с теорией катастроф. Так было и с теорией информации в момент ее возникновения. Так же начала свой путь кибернетика – дисциплина несомненно параматематическая.

Третье направление, наверное, можно назвать собственно метафоро-математическим , или, пожалуй, даже мифо-математическим. В этом случае исследователь не придумывает новых математических построений, а берет уже существующую математическую структуру и дает ей новую – неожиданную экспликацию в системе тех или иных представлений эмпирического мира, вводя для этого лишь одну или несколько аксиом связующего характера. Математическая структура начинает выступать в роли мифа , которому исследователь дает новое раскрытие, – так же, как когда-то это делал мыслитель древности с мифами своего времени. Так предметная область обогащается идущими от математики новыми идеями, порождающими новое видение Мира. Хорошим примером такого приема может быть общая теория относительности : Эйнштейн геометризировал представление о гравитации [126], опираясь на уже существовавшие структуры геометрии Римана и тензорный анализ.

Приведем здесь несколько высказываний В.И. Манина, перекликающихся с нашими представлениями о третьем пути математизации знаний [1979]:

Безумная идея, которая ляжет в основу будущей фундаментальной физической теории, будет осознанием того, что физический смысл имеет некоторый математический образ, ранее не связывавшийся с реальностью. С этой точки зрения проблема безумной идеи – это проблема выбора, а не порождения…

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления (с. 4).

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт – естественным языком. Пренебрежение ригористическими запретами оправдывается конечной апелляцией к физической истине, чего не может позволить себе математик. Выбор лагранжиана в единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий Салама – Вейнберга, введение в него полей Хиггса, вычитание вакуумных средних и прочее колдовство, приводящее, скажем, к предсказанию нейтральных токов, оставляет математика в состоянии немого изумления (с. 8).