Валентин Асмус - Учение логики о доказательстве и опровержении

В число оснований доказательств, кроме положений об удостоверенных фактах, на которые опирается доказываемый тезис, кроме определений основных понятий науки и аксиом, входят ещё доказанные ранее положения науки, необходимые для обоснования тезиса.

Так, при доказательстве теоремы евклидовой геометрии о сумме внутренних углов плоского треугольника в качестве оснований доказательства используют не только определения понятий, например понятий о параллельных, о смежных углах о внутренних накрест лежащих углах, о соответственных углах, и не только аксиомы, например аксиому (постулат) Евклида о параллельных. В качестве оснований доказательства этой теоремы используют также доказанную до неё теорему о равенстве суммы смежных углов двум прямым.

Рассматривая доказательство, нетрудно убедиться, что ранее доказанные положения, на которые опирается доказываемый тезис, используются в ходе доказательства либо непосредственным, либо опосредствованным образом.

Непосредственно используются те положения, на которые прямо ссылаются в ходе доказательства, как на положения, из истинности которых следует истинность доказываемого тезиса. Так, одним из положений, непосредственно используемых для доказательства теоремы Пифагора, будет 41-я теорема первой книги Евклида. Теорема эта утверждает, что если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника. Теорема эта принадлежит к непосредственным основаниям теоремы Пифагора, так как при доказательстве последней Евклид дважды ссылается в самом ходе доказательства на 41-ю теорему. Иными словами, 41-я теорема прямо входит в число оснований, истинность которых приводит к признанию истинности теоремы Пифагора.

Опосредствованным образом используются для доказательства те положения, на которые в самом ходе данного доказательства прямо не ссылаются, но при помощи которых были ранее доказаны непосредственные основания данного доказательства. Положения эти могут быть названы предшествующими основаниями доказательства. Так, для той же теоремы Пифагора одним из таких ранее доказанных, или предшествующих, оснований её доказательства будет 38-я теорема первой книги Евклида. Теорема эта утверждает, что треугольники, находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой. Эта теорема не входит в число непосредственных оснований доказательства теоремы Пифагора, так как в ходе этого доказательства Евклид на 38-ю теорему не ссылается. Но она входит в число оснований доказательства опосредствованным образом, будучи одним из оснований, при помощи которых была доказана 41-я теорема. А эта последняя есть, как мы уже знаем, одно из непосредственных оснований доказательства теоремы Пифагора.

Чем дальше развивает наука доказательства своих положений, тем большим становится число предшествующих оснований доказательства каждого нового положения. Если, рассматривая данный тезис науки, мы задались бы целью выяснить все основания, на которые опирается его доказательство, то оказалось бы, что непосредственные основания его доказательства опираются на некоторые предшествующие им основания, эти последние — в свою очередь на другие предшествующие основания и т. д. Однако, каким бы большим ни было число предшествующих оснований данного доказательства, оно не может быть бесконечным. Рано или поздно мы дойдём до таких предшествующих оснований, которые ни из каких предшествующих им оснований уже не могут быть выведены.

Основания доказательства, которые не могут быть выведены ни из каких предшествующих им оснований, называются начальными основаниями данной науки.

Начальными основаниями для данной науки являются: положения об удостоверенных единичных фактах, определения и аксиомы (постулаты). Теоремы не могут быть начальными основаниями, так как начальные основания ниоткуда не выводятся; напротив, всякая теорема — доказываемое положение, а все доказываемые положения выводятся из оснований непосредственных или предшествующих.

Все определения и аксиомы, которые могут встретиться в отдельных доказательствах в качестве непосредственных оснований или к которым доказательство может быть возведено как к своим предшествующим основаниям, входят в число начальных оснований науки. При этом, однако, в доказательства эти основания входят в каждом отдельном случае лишь частично. Так, доказательство, например, теоремы Пифагора опирается непосредственно не на все, а лишь на некоторые аксиомы, не на все, а лишь на некоторые определения, входящие в круг начальных аксиом и определений.

Напротив, в числе начальных оснований науки находится не часть аксиом, а все аксиомы данной науки, не часть определений, а все её определения.

Чем дальше отстоит доказываемое положение от начальных оснований данной науки, тем большим становится число предшествующих оснований доказательства. И действительно: каждое доказанное ранее положение, на которое в данном доказательстве наука ссылается, как на одно из непосредственных оснований доказываемого тезиса, обусловлено, в свою очередь, длинным рядом предшествующих ему положений. Ни на одно из них в пределах данного доказательства не ссылаются — иначе доказательство каждой теоремы было бы повторением всего предшествующего этой теореме содержания науки со всеми её доказательствами. В то же время все они могут быть найдены в соответствующем месте системы науки, где они полностью излагаются, иначе основание, на которое опирается доказываемое положение, само было бы -недоказанным.

Наличие в далеко продвинувшейся науке длинной цепи не непосредственных оснований, предполагаемых каждым непосредственным основанием любого доказательства, делает особенно важным условием состоятельности доказательства истинность всех оснований доказываемого тезиса.

В самом деле, непосредственное для данного доказательства основание есть только звено предшествующей ему цепи обусловливающих его оснований. Если эта цепь длинна и если какое-нибудь из её звеньев окажется ложным, то и заключительное звено — данное непосредственное основание доказательства — тоже может оказаться ложным. А в таком случае и доказываемый тезис, как опирающийся на ложное основание, может оказаться ложным.

Поэтому в качестве оснований доказательства должны быть принимаемы только истинные, строго доказанные, проверенные и удостоверенные в своей истинности положения. Любой вид оснований, вообще говоря, сказывается на истинности результата. Поэтому ни входящие в число оснований доказательства положения об удостоверенных фактах, ни определения основных понятий науки, ни аксиомы, ни уже ранее доказанные положения науки не должны быть ложными. Основания доказательства не должны быть даже сомнительными. Сомнительность основания есть по крайней мере возможность его ложности, а возможность ложности в основаниях доказательства делает возможным ложность самого доказываемого тезиса. Поэтому доказательство, опирающееся на сомнительные основания, не есть, строго говоря, подлинное доказательство. Только вполне удостоверенная истинность всех оснований, на которые опирается доказательство, делает доказательство (при соблюдении всех прочих условий и правил, о которых речь впереди) путём и средством к отысканию новой истины.