Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том 1

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут с целью доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, поскольку они суть законы, имеющие своим основанием качественную природу моментов; математика не может этого сделать по той простой причине, что она не есть философия, не исходит из понятия , и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны , заставляло ее часто забывать свои границы. Так, например, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений . Позднее было достигнуто более определенное сознание этой истины; но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано, и тем, что может быть лишь заимствовано из другого источника, равно как и различие между тем, что представляет собою лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собою физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгой и чистой позиции. – А что касается указанного остова ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое необоснованное искусственное построение Ньютона, состоявшее из оптических экспериментов и связанных с ними умозаключений . Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому, как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, причем, однако, совершают ту непоследовательность, что продолжают держаться, хотя и в противоречии с этим, прочих частей ее, точно так же является фактом , что часть упомянутых обманчивых доказательств уже сама собою пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

Примечание 2

Цель диференциального исчисления, выведенная из его приложения

В предшествующем примечании мы рассмотрели отчасти определенность понятия бесконечно малого , применяемого в диференциальном исчислении, отчасти же основу его введения в последнее. И то и другое суть абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое приложение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания. – Весь метод диференциального исчисления полностью дан в положении, что dxn = nxn-1 dx или

( f( x + i) – fx)/ i = P ,

т. е. равняется коэфициенту первого члена двучлена ( x + dx) n или ( x + i) n (47), разложенного по степеням dx или i . Дальше нечему учиться новому; вывод ближайших форм, диференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса – с нахождением диференциалов дано также и обратное, нахождение первоначальной функции на основании диференциалов, интегрирование – можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дальше лишь старание усмотреть, сделать для себя понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэфициента , решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, получившей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона , а именно, отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы оказалось, что единственно только этот коэфициент и нужен, то с его нахождением было бы покончено, как мы сказали, менее чем в полчаса со всем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы так мало затруднений, что скорее, наоборот, о них, как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. производной функции, их определение равным образом уже закончено с определением первого члена), вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.

Можно здесь предпослать то замечание, что по методу диференциального исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу – ибо дело именно и усматривается в различии разложенной функции переменной величины (после того, как ей придана форма двучлена) от первоначальной функции, – скорее совершенно противоречит всем математическим принципам. Как потребность в таком образе действий, так и отсутствие внутреннего его оправдания сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его. Это не единственный случай в науке, когда то, что в качестве элементарного ставится вначале и из чего, как предполагается, должны быть выведены положения данной науки, оказывается неочевидным и имеющим, наоборот, свой повод и обоснование в последующем. История возникновения диференциального исчисления показывает, что оно получило свое начало преимущественно в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы кунштюки ; характер действия после того, как он был распространен также и на другие предметы, был осознан позднее и получил выражение в абстрактных формулах, которые теперь старались также возвести в ранг принципов .

Мы показали выше, что определенность понятия так называемых бесконечно-малых есть качественная определенность таких количеств, которые ближайшим образом, как определенные количества, положены находящимися в отношении друг к другу, а затем в связи с этим следовало эмпирическое исследование, ставившее себе целью обнаружить эту определенность понятия в тех имеющихся описаниях или дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую разность и тому подобное. – Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть абстрактной определенности понятия как таковой. Дальнейший вопрос состоит в том, какой характер носит переход от нее к математической форме и ее приложению. Для этой цели нужно сначала еще далее развить теоретическую сторону, определенность понятия, которая окажется в себе самой не совсем бесплодной; затем следует рассмотреть отношение ее к приложению и доказать относительно их обоих, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы вместе с тем соответствуют тому, что является существенным в диференциальном исчислении, и тому способу, каким оно достигает своей цели.