Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

В своей лекции Гильберт вновь вернулся к понятию математического существования: если можно доказать, что свойства, заданные понятию, никогда не приводят к противоречию, то это понятие существует математически. Утверждение было категоричным и шокировало многих его коллег. Он утверждал, что при исследовании оснований науки должна быть сформулирована система аксиом, которая содержала бы точное описание основных отношений между элементарными понятиями этой науки. Таким образом, сформулированные аксиомы стали бы одновременно определениями этих элементарных понятий, и ни одна рассматриваемая научная пропозиция не была бы истинной, если бы не выводилась из аксиом за конечное число логических шагов.

Кроме того, философски подводя к своему списку проблем, Гильберт спорил (как и Пуанкаре) с популярными в то время скептиками, вдохновленными физиологом Эмилем Дюбуа-Реймоном (1818-1896) и подхватившим его знамя физиком Пьером Дюгемом (1861-1916). По их мнению, наука подошла к своему пределу, и оставался некий блок вопросов, суть которых, согласно высказыванию Дюбуа-Реймона в 1872 году, «мы не знаем, мы не будем знать» («Ignoramus, ignorabimus!»). Гильберт же с оптимизмом заявлял, что любая математическая проблема решаема — в том смысле, что можно получить положительный или отрицательный ответ. В этом состояло одно из его самых прочных убеждений и мощный стимул для ежедневной работы:

«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.

Гильберт предложил 23 математические проблемы, но ввиду временных ограничений в своей лекции он упомянул только десять из них. Однако он предоставил присутствующим печатный вариант лекции, который сразу же был растиражирован в Германии и Франции. Разберем эти 23 проблемы (наиболее простые и понятные будут рассмотрены подробно).

Проблемы можно сгруппировать в несколько блоков в зависимости от предмета, к которому они относятся: основания математики (проблемы 1, 2, 3, 4 и 5) и математической физики (проблема 6), теория чисел (проблемы 7, 8, 9, 10 и 11), алгебра (12, 13, 14 и 17), геометрия (15, 16, и 18) и анализ (19, 20, 21, 22 и 23). Основания математики, геометрия и алгебра с различных углов зрения, теория чисел и анализ представлены в списке наряду с другими вопросами спорной классификации.

В первом блоке приведены проблемы оснований математики и физики.

1. Проблема континуума (см. главу 4). Доказать истинность или ложность знаменитой континуум-гипотезы Кантора: не существует подмножества на числовой прямой, кардинальное число которого (то есть его размер) находилось бы строго между кардинальном числом рациональных чисел и кардинальным числом действительных чисел. Поставив этот вопрос как первую математическую проблему будущего, Гильберт занял позицию абстрактной теории множеств в пику ее многочисленным врагам.

2. Проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Этот вопрос был крайне важен, поскольку положительный ответ косвенно доказал бы непротиворечивость всей математики. В «Основаниях геометрии» Гильберт оставил эту проблему, но в 1920-е годы вернулся к ней уже как исследователь. К сожалению, в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что формально эта проблема неразрешима. Невозможно доказать непротиворечивость аксиом арифметики.

3. Равенство объема двух тетраэдров одинакового основания и высоты. В своей книге Гильберт озаботился определением понятия площади в плоскостной геометрии без использования анализа бесконечно малых (интегралов) и достиг успеха, охарактеризовав многоугольники одинаковой площади как равносоставленные (то есть состоящие из одного и того же числа одинаковых треугольников). Удастся ли сделать то же самое с понятием объема в пространственной геометрии? Удастся ли охарактеризовать многогранники одинакового объема как многогранники, которые могут быть разложены на одно и то же число равных тетраэдров? В 1902 году Макс Ден (1878-1952) ответил на эти вопросы отрицательно: существует два тетраэдра с одинаковым основанием и высотой (а значит, с одинаковым объемом), которые, однако, не являются равносоставленными. Невозможно разделить первый на конечное количество многогранных частей так, чтобы они могли быть собраны для получения второго. В то время как в двух измерениях было возможно определить площадь, не применяя анализ, в трех измерениях сложный процесс перехода к пределу, известный как чертова лестница, оказывался неизбежным и мешал определить понятие объема, не прибегая к анализу.

4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).

Математический клуб Гёттингена, 1902 год. В центре Клейн, основатель клуба, справа от него Г ильберт.

Математик Герман Минковский в молодости. С Гильбертом их связывала крепкая дружба до самой смерти Минковского в 1909 году.

Гильберт и Кёте Ерош, на которой он женился в 1892 году.

5. Анализ понятия, введенного Софусом Ли (1842-1899) в отношении группы трансформаций, за исключением гипотезы о дифференцируемости функций, входящих в состав группы.

6. Математический подход к аксиомам физики. Гильберт был заинтересован в аксиоматизации различных областей физики (в особенности механики и вычисления вероятностей, которое в то время набирало силу как инструмент термодинамики), чтобы определить им формат, наподобие геометрии, ведь ее он считал практически эмпирической наукой. В решении этой проблемы уже наметился сдвиг благодаря физикам Эрнсту Маху (1838-1916) и Генриху Герцу, но математики ею еще не занимались. Программа аксиоматизации физики добилась (как станет ясно в следующей главе) определенных побед в первые десятилетия XX века.