Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?

Давид Гильберт

Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.

Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.

В 1992 году Международный математический союз принял на себя инициативу связать лекцию Гильберта 1900 года с современным состоянием математики. Несмотря на огромные достижения математики XX века, дюжины примечательных проблем еще ждут своего решения. В 2000 году лауреат Филдсовской премии Стивен Смейл (р. 1930) составил список из 18 проблем, актуальных в XXI веке. Первые три — это гипотеза Римана, гипотеза Пуанкаре (знаменитый топологический вопрос, поставленный в 1904 году) и проблема Р = NP (любая ли проблема, решаемая в экспоненциальном неполиномиальном времени, имеет альтернативное решение в полиномиальном времени?). Одновременно институт Клея назначил семь премий в один миллион долларов для каждой из обозначенных проблем тысячелетия. Некоторые из них новые, другие — старые знакомые, уже более 100 лет ожидающие решения. Среди этих задач, естественно, три указанные выше проблемы, а также проблема существования решений уравнений Навье — Стокса (которые описывают движение флюидов). В 2002 году российский математик Григорий Перельман (р. 1966) доказал одну из них — гипотезу Пуанкаре.

Сегодня, спустя более чем 100 лет, можно констатировать хорошие результаты: больше половины проблем решены, хотя некоторые решены довольно неожиданно. Часть из них все еще остаются открытыми (это случай проблемы 8 — гипотезы Римана, «звезды» списка) или частично открытыми (случай проблем И, 12 и 16). Проблемы, которые Гильберт определил для нового века, не остались без внимания, они заворожили несколько поколений математиков, породив настоящий поток исследовательских статей. Решить проблему Гильберта — задача, достойная уважения, способствующая карьере. Математик, решивший одну из этих проблем, занимал «почетное положение в математическом сообществе», говоря словами Германа Вейля (1885-1955) из некролога Гильберту.

Это был случай свершившегося пророчества. Несмотря на то что присутствующих на лекции Гильберта было не так много (доподлинно неизвестно, был ли там Пуанкаре, к которому отсылали некоторые из этих проблем), она не вызвала оживленной дискуссии (за исключением столкновения с Пеано, напомнившего Гильберту о работах итальянских математиков в области второй проблемы), репутация их автора и стоявшего за ним Гёттингенского центра сделали свое дело. Математическими проблемами будущего стали именно те, которые Гильберт обозначил в своей программе, потому что этому способствовала его харизма. Однако предложения Пуанкаре также исполнились: например, развитие функционального анализа, который стольким обязан Гильберту, шло параллельно развитию квантовой механики. И когда сошла на нет тенденция к абстракции и аксиоматическим структурам, характерная для начала XX века, произошел скачок прикладной математики (исследование операций, теория хаоса и так далее), который был знаком уважения французскому математику.