Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Как можно вычислить площадь окружности? Возьмем окружность с радиусом, в полтора раза превосходящим диагональ квадрата со стороной 1 см, который мы примем за единицу измерения площади (см. рисунок 5).

Вопрос будет звучать так: сколько раз эта единица измерения впишется в окружность? Прежде всего, как показано на рисунке 6, можно легко установить, что окружность содержит девять квадратов со стороной 1 см, хотя и видно, что они не заполняют ее целиком. Мы должны заполнить оставшиеся белые области, а поскольку квадраты целиком туда не вписываются, то можем использовать прямоугольники, равные половине квадрата.

РИС. 5

Но и после того как мы разместим их, останутся еще пустые области, которые мы снова заполним прямоугольниками меньшего размера. Чтобы полностью заполнить окружность, нам потребуется бесконечное количество прямоугольников, большая часть которых будет микроскопических размеров (см. рисунок 7). Таким образом, задача о площади окружности тут же привела нас к бесконечно большим величинам (количество прямоугольников) и бесконечно малым. Однако, если мы будем располагать прямоугольники как придется, то не узнаем, сколько квадратов вписывается в окружность. Чтобы заполнить ее, нужен систематический метод, который позволит нам контролировать, какая часть окружности заполняется на каждом этапе. Такой метод был разработан древнегреческим геометром Евдоксом Книдским (408- 355 годы до н. э.). В VI веке до н. э. Евдокс представил правильные многоугольники с возрастающим количеством сторон, углы которых находятся на окружности (в правильном многоугольнике все стороны равны и образуют равные углы). Каждый многоугольник занимает часть окружности, и по мере того как увеличивается количество сторон, незаполненная часть уменьшается (см. рисунок 8).

Георг Кантор, около 1880 года.

Первая страница статьи «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел», опубликованной Кантором в 1874 году. В ней уже содержались некоторые из основных идей будущей теории бесконечности.

Карл Вильгельм Борхардт, издатель <���Журнала Крелле· с 1856 по 1880 год.

Немецкий математик Леопольд Кронекер. Он был убежден в том, что вся теорема существования должна основываться на реальном построении и развиваться в конечное число этапов, а потому отверг теорию множеств, предложенную Кантором, и положил начало обширному спору.

РИС. 6

Теория [бесконечных множеств] — это область, в которой нет ничего очевидного, ее истинные положения часто звучат парадоксально, а кажущиеся истинными на самом деле являются ложными.

Немецкий математик Феликс Хаусдорф, 1914 год

РИС. 7

Основываясь на этой идее и исходя из свойств правильных многоугольников, уже известных в то время, Евдокс доказал, что площадь любой окружности пропорциональна площади квадрата, построенного на ее радиусе. Это означает, что если радиус окружности равен r, то его площадь высчитывается при умножении r 2на число, одинаковое для всех окружностей. В XVIII веке великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) обозначил это число греческой буквой π, и сегодня мы говорим, что площадь окружности равна π ∙ r 2.

Через 100 лет после Евдокса Архимед использовал похожий подход для того, чтобы рассчитать объем сферы, а также площадь и центр тяжести различных фигур, ограниченных кривыми. Ему также удалось получить наиболее точное значение числа π в истории Античности.

Тем не менее методы древнегреческих ученых были недостаточно обобщенными: для каждого вычисления требовалось отдельное построение, которое работало только для конкретного случая. Так, например, способ Евдокса вычислить площадь окружности не мог быть применен к эллипсу, все рассуждения грека относились только к окружности и ни к какой другой фигуре.

Правильный многоугольник с 4 сторонами

Правильный многоугольник с 7 сторонами

Правильный многоугольник с 11 сторонами

РИС. 8

С XVI века европейские математики принялись искать общий способ решения вопроса о площади фигур, ограниченных кривыми. Самых выдающихся результатов добились четверо математиков: Иоганн Кеплер (1571-1630), Бонавентура Кавальєри (1598-1647), Рене Декарт (1596-1650) и Пьер де Ферма (1601-1665). В конце XVII века Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), опираясь на достижения своих предшественников, независимо друг от друга нашли наконец общий метод расчета площади любой плоской фигуры. Это один из основных инструментов исчисления, и называется он интегральным.

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд родился 6 октября 1831 года в Брауншвейге, Германия. С детства он проявлял огромный интерес к наукам и постепенно сконцентрировался именно на математике. В 1848 году поступил в Карловский коллегиум, где преподавание соответствовало университетскому уровню, поэтому Дедекинд получил солидное образование в области алгебры, аналитической геометрии и исчисления. Он дополнил его в Геттингенском университете, куда поступил в 1850 году. Два года спустя он получил там степень доктора под руководством самого Карла Фридриха Гаусса, одного из величайших математиков в истории.

В 1855 году Гаусс умер, и Дедекинду предложили занять его кафедру. В том же году он начал тесно сотрудничать с Бернхардом Риманом, еще одним учеником Гаусса. Через несколько лет Дедекинд решил вернуться в Брауншвейг и в 1862 году стал преподавать математику в том же знаменитом Карловском коллегиуме вплоть до 1894 года. Однако он не оставил занятия математикой и внес важный вклад в развитие науки, особенно в области алгебры и исчисления. Дедекинд всю жизнь был холостяком и, вернувшись в Брауншвейг, поселился со своей незамужней сестрой Юлией. Рихард Дедекинд умер в Брауншвейге 12 февраля 1916 года.