Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Схема парадокса Рассела. Стрелки указывают порядок логических выводов.

Парадокс Рассела, напротив, вызвал гораздо более глубокий кризис, так как аксиому, утверждающую, что каждому свойству соответствует множество, использовали на протяжении нескольких лет все ученые, применявшие понятия теории множеств. Доказав, что эта аксиома противоречива, Рассел не только обрушил всю систему Фреге, но и заставил усомниться во всех достижениях, основанных на теории множеств. В частности, была поставлена под вопрос верность исчисления. Более того, принцип выделения в действительности кажется очевидным, а если такое невинное на первый взгляд утверждение оказывается настолько противоречивым, какие опасности таятся в других аксиомах или предположениях, которые так или иначе математики доверчиво использовали в своих утверждениях?

Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Висмаре (Германия) 8 ноября 1848 года. В 1869 году он поступил на математический факультет Йенского университета, также в Германии, но в 1871 году перевелся в Геттинген, где кроме математики изучал физику, химию и философию. В 1872 году удостоился докторской степени, предложив новый логически точный геометрический язык. В 1902 году Фреге получил письмо от Рассела, в котором говорилось о парадоксе множеств, не являющихся членами самих себя, и впал в глубокое уныние. Он попытался перестроить всю систему и для этого изменил аксиому, порождавшую парадокс, но тогда она породила еще несколько — Фреге понадобился не один год, чтобы заметить их. Большая часть его работ по логике и философии на момент его смерти были еще не опубликованы. Фреге завещал их своему приемному сыну Альфреду с такими словами:

«Не пренебрегай моими рукописями. Если не все в них золото, то золото там все же есть. Думаю, придет время, и многое в них будет оценено гораздо выше, чем теперь. Смотри, чтобы ничто из них не потерялось. В них я оставляю тебе значительную часть самого себя».

Фреге умер в Бад-Клайнене (Германия) 26 июля 1925 года.

Что на этом пути нам, продвигающимся все дальше, не удается достичь никакой непереходимой границы, получить хотя бы только приближенное постижение абсолютного — это не подлежит для меня никакому сомнению.

Георг Кантор, 1883 год

Кризис, вызванный парадоксом Рассела, вышел за границы теории множеств: ученые поставили под вопрос все свои рассуждения и даже стали спрашивать себя, что же на самом деле изучает математика. Этот глубокий кризис известен сегодня под названием «кризиса оснований». Он вызвал множество споров, иногда очень горячих, продлившихся почти 30 лет.

В начале XX века многие математики были уверены, что для решения проблемы парадоксов теории множеств достаточно добиться верной формулировки ее аксиом. Первый шаг в этом направлении сделал немецкий математик Эрнст Цермело (1871-1953). В 1919 году немецкий математик Абрахам Френкель (1891-1965) усовершенствовал систему аксиом Цермело, добавив к ней неучтенные прежде необходимые аксиомы. Сегодня она называется системой Цермело — Френкеля, а в специальной литературе по теории множеств обозначается аббревиатурой ZF. Эти аксиомы составляют стандартные формулировки теории множеств и позволяют решить все известные парадоксы. Слово «известные» было добавлено чешским математиком Куртом Гёделем (1906-1978), который доказал, что не существует безошибочного способа гарантировать, что система аксиом не содержит парадоксов. Таким образом, хотя в глубине души математики убеждены, что ZF не приведет к логическим противоречиям (и действительно, с 1919 года они не были выявлены), не существует математически точного доказательства того, что они никогда не возникнут.

Каждая сторона этого памятника в Галльском университете посвящена профессору, работавшему здесь. Сторона слева — Виктору Клемпереру (1881-1960), профессору философии, сторона справа — Кантору.

Сторона памятника, посвященная Кантору. Под изображением ученого высечено равенство x = X02 . а внизу — фраза из его работы 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».

Перечислим аксиомы Цермело — Френкеля.

1. Два множества равны, если в них одинаковое количество членов.

2. Существует пустое множество.

3. Если даны х и y, всегда существует пара, состоящая из них обоих.

4. Объединение двух или больше множеств также является множеством.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Только свойства, которые можно выразить исходя из остальных аксиом, могут быть использованы для определения множества.

7. Если дано произвольное множество, всегда существует множество, образованное его частями (см. главу 5).

8. Если дана семья — конечная или бесконечная — непустых множеств (то есть каждое из них содержит как минимум один член), всегда существует множество, которое содержит по члену из каждого множества этой семьи (см. рисунок на следующей странице).

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Аксиома 9 подразумевает, что универсального множества не существует, потому что оно содержало бы само себя, а аксиома это запрещает. Действительно, если записать аксиомы подходящим символическим языком, то можно доказать, что, исходя из аксиомы 6, универсальное множество даже не может быть определено. Парадокс Кантора возникает, когда речь заходит именно о мощности универсального множества. Но если его не существует, то нет и парадокса.

Парадокс Рассела связан с множеством F, образованным всеми множествами, которые не являются членами самих себя. Но аксиома 9 гласит, что все множества соблюдают условие, определяющее F; следовательно, F будет множеством всех множеств. Но поскольку оно и само является множеством, по аксиоме 9, то не может существовать (на самом деле, как и в случае с универсальным множеством, можно доказать, что даже нельзя определить теоретически). А раз оно не существует, то не будет и парадокса Рассела.

Парадокс Бурали-Форти решается аналогичным способом — через доказательство того, что множества всех ординальных чисел не существует.

Схема, объясняющая аксиому выбора. От каждого множества выбирается по члену и из них формируется новое множество.