Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

В этом стихотворении мы можем обнаружить два противоположных взгляда на математику, сохранившиеся и в более позднее время: математика как прикладная наука и как исследование, осуществляемое органами чувств. Рекорд всегда оставался верен поиску истины, несмотря ни на какие авторитеты. Он считал математику благородным искусством, призванным искать и открывать подлинные знания. По-видимому, такое отношение к науке разделяли не все, потому что, хотя он занимал пост управляющего Королевского монетного двора и был к тому же Генеральным контролером шахт и денежного обращения в Ирландии, Рекорд провел последние дни своей жизни в тюрьме, скорее всего, в результате политического доноса.

У современника и коллеги Рекорда, Джона Ди (1527–1609), была похожая успешная карьера, закончившаяся не менее головокружительным падением. Они оба были консультантами в Московской компании, где занимались вопросами навигации и картографии. В 1577 году Ди опубликовал книгу «Искусство навигации». Но больше всего его занимали оккультные науки, на которые в Елизаветинскую эпоху был направлен основной научный интерес ввиду распространения неоплатонических традиций Ренессанса. Ди изучал каббалу и алхимию. Он занимал пост Королевского астролога при королеве Елизавете I, составлял гороскопы и давал советы относительно календарных реформ. Но, вследствие его репутации при дворе, он одновременно вызывал восторженное восхищение и страх, и, хотя он был советником Елизаветы с тех времен, когда она еще не была королевой, Ди понимал, что его враги не дремлют. Он часто чувствовал необходимость публичной защиты, старательно доказывая всем, что его исследования направлены на пользу государства. Действительно, по возвращении из путешествий по Европе ему обещали пенсию, но он так никогда и не получил ее и умер в бедности в 1608 году. В предисловии к «Началам» Евклида в переводе Генри Биллингсли, который позже стал лорд-мэром Лондона, Ди провозгласил неоценимое значение математики. Эта книга была первым академическим выпуском «Начал» на английском языке, и, вероятно, ее отредактировал сам Ди.

Джон Непер был не профессиональным математиком, а богатым помещиком, шотландским бароном (восьмым лэрдом Мерчистона), и большую часть жизни занимался управлением своим поместьем. Однако он находил время и для того, чтобы писать труды на самые разные темы, и даже был втянут в антипапские богословские дебаты. Хотя к тому времени уже активно использовались индо-арабские цифры, тем не менее вычисления выполнялись с помощью ручки и бумаги, и люди искали способы ускорить порой очень длинные процедуры вычислений. Неперу приписывают два изобретения, которые очень облегчили вычисления, — кости Непера и логарифмы. Кости Непера, также известные как палочки Непера, — это прутки, на которых были вырезаны таблицы умножения. Они могли быть разложены в виде решетки так, чтобы можно было быстро произвести любое громоздкое умножение. Палочки, по существу, превращали длинное умножение в простые сложения. Изобретение логарифмов также было навеяно жгучим желанием ускорить вычисления. Сам термин был придуман Непером и представляет собой слияние слов logos («слово, пропорция») и arithmos («число»). Многих математиков поражали взаимоотношения между арифметическими и геометрическими рядами и то, что вычисление произведения двух степеней может быть сокращено до вычисления суммы степеней. Открытие Непера заключалось в том, что оно могло относиться к любым степеням, и он составил таблицу логарифмов Непера, которая была опубликована в 1614 году в его книге «Описание удивительной таблицы логарифмов» (на латинском языке).

В исходном рассуждении он не использует основание системы счисления: вместо этого он делит числовую ось до 10 7, получая части, которые дают вполне удовлетворительный результат для большинства вычислений. Затем он определил отношение: N = 10 7(0,9 999 999) L, где L — логарифм N. При этом логарифм 10 7= 0, логарифм 9 999 999 = 1. Промежуточные значения варьируются от 0 до 1. В его таблицах описаны скорее логарифмы тригонометрических функций, чем натуральных чисел, что отражает раздражавшие его проблемы с утомительными вычислениями, необходимыми в астрономии и навигации. Одним из больших поклонников Непера был Генри Бриггс, первый савильянский профессор геометрии в Оксфорде (иначе говоря, первый профессор Савильянской кафедры геометрии, учрежденной в Оксфордском университете в 1619 году). Они оба пришли к выводу, что можно построить более практичную таблицу, задав соответствие log 1 = 0 и log 10 = 1. Но в 1617 году Непер умер, и именно Бриггсу выпало составить первую таблицу логарифмов с основанием 10, которая служит основой для той таблицы, что мы знаем теперь. Эта таблица была составлена для чисел от 1 до 1000; в 1624 году Бриггс расширил ее до 100 000. Оба набора логарифмов были вычислены до 14 десятичных знаков. Преимущество наличия фиксированного основания заключалось в том, что удаление из вычислений множителя 10 7продемонстрировало фундаментальное правило логарифмов — логарифм произведения двух чисел равен сумме отдельных логарифмов. Сегодняшние калькуляторы сделали ненужными таблицы логарифмов, тригонометрических функций и обратных чисел, равно как и логарифмические линейки, но в то время таблицы Бриггса считались замечательным бытовым прибором, существенно ускоряющим и облегчающим вычисления. Штурманы на кораблях, которые должны были постоянно высчитывать синусы и косинусы, увидели, что привычная для них задача умножения двух семизначных чисел сократилась до обращения к логарифмам, выполнения одного сложения, а затем повторного обращения к таблице, где обратный логарифм даст необходимый ответ. Прежде, когда вычисление могло занять целый час, полученный ответ на целый час отличался от положения корабля в настоящий момент. Теперь вычисления сократились всего до нескольких минут.