Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

В Европе развитие алгебры шло бок о бок с использованием новых индо-арабских цифр. В 1494 году монах Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», который считают первой книгой по алгебре. Трактат Пачоли все еще представляет собой смесь риторических и алгебраических объяснений (это называют синкопированием). Неизвестное в уравнении часто называлось на латыни «cosa» («вещь»), а затем — в онемеченном варианте — «coss». После появления книги «Die Coss», написанной знаменитым «счетным мастером» Адамом Ризе (1492–1559), в Германии в XVI веке стало быстро развиваться так называемое «коссическое искусство». В то время впервые появились многие символы, которые мы сегодня считаем алгебраическими. Знаки «+» и «-» пришли в математику из Германии, знак «=» — из Англии. В целом переход от риторической алгебры через различные виды синкоп к стандартизированной и однозначной символической алгебре занял несколько сотен лет. Серьезной проблемой была, например, роль степеней выше третьей. Поскольку алгебраические методы полагались на геометрические доказательства, а измерений свыше третьего не существовало, казалось неразумным приписывать какое-либо значение четвертой или более высоким степеням. Важность этой проблемы подчеркивали сами термины, которые использовали для обозначения таких степеней. Четвертая степень числа обычно упоминается как «квадрат квадрата». В середине XVI века Роберт Рекорд чувствовал необходимость чем-нибудь подкрепить свое стремление к использованию более высоких степеней. Он объяснял, что площадь квадрата, стороны которого также квадраты некоего числа, — это число, возведенное в четвертую степень, и, следовательно, называется «квадратом квадрата».

Отход от чисто геометрического подхода начался с публикации «Геометрии» Рене Декарта (1596–1650). Эта важная работа была всего лишь приложением к основополагающему труду Декарта «Рассуждение о методе» (1637) (полное название «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках») и нередко выбрасывалась из последующих переизданий. Декарт писал «Рассуждение…», чтобы изложить философию науки, которая позволит получить знания о Вселенной вещества и движения. А правильное описание Вселенной на языке математики требовало, чтобы сам этот язык «базировался на надежном фундаменте». Несмотря на то что приложение называлось «Геометрия», по существу, оно знаменовало брачный союз алгебры и геометрии, появление дисциплины, которая теперь называется аналитической геометрией. В сущности, она доказывает эквивалентность геометрических построений и алгебраических преобразований. Кривые в ней описываются уравнениями. Декарт также перестал оценивать степени как числа, а не как геометрические объекты: х 2больше не обозначало площадь — оно стало числом, возведенным во вторую степень, его геометрическим эквивалентом была парабола, а не квадрат.

Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим.

Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности — ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь — куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об x n. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х 2фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой — он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, — это ∞, знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.

Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.