Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых ситуациях. Логистическое разностное уравнение z = λ z (1 — z) — простое квадратное уравнение со всего одним изменяющимся коэффициентом, обозначенным λ. Уравнение имеет два корня, как и предполагается для квадратного уравнения, но если мы используем итерационную процедуру, то обнаружим некоторые удивительные свойства. Для большинства значений λ итерация «взрывается» и отклоняется к бесконечности. Но если мы начнем с λ = 1 и начнем медленно увеличивать значение этого коэффициента, мы увидим, что итерация не отклоняется и при этом не сходится к единственному значению: вместо этого она колеблется между рядом значений. В некоторый момент система ведет себя хаотически, выполняя дикие скачки между множеством чисел. Если мы теперь добавим комплексные числа, сегмент вещественной оси разветвляется, демонстрируя фрактальную структуру. С помощью простого преобразования разностное уравнение принимает вид другого квадратного уравнения z = z 2- т. Итерационный процесс весьма прост, но очень утомителен, если его выполнять вручную. Мандельброт первым с помощью компьютера распечатал то, что теперь называют множеством Мандельброта для случая, где z — комплексное число. Множество Мандельброта — по сути, ряд чисел, и его исходная одноцветная распечатка представляла собой черно-белый текст, состоящий из значений m , для которых итерация не сходилась к бесконечности — то есть тех, для которых итерации оставались ограниченными. Лишь после того, как компьютеры обзавелись более мощными принтерами и увеличилась сложность компьютерной графики, стала видна невероятная красота этой структуры, с ее зубчатыми завитками. Эта простая система выявила многие характеристики, которые Мандельброт стремился свести воедино. С помощью компьютера стало возможно увидеть самоподобие, столь характерное для фракталов, когда путем изменения масштаба изображения выполняется погружение внутрь множества, где обнаруживаются мини-множества, подобные большему целому. Возвращаясь к разностному уравнению, для комплексных значений λ итерации создают то, что Мандельброт любил называть «драконами». Страшные монстры математического анализа переродились в прекрасных существ, которые с радостью были приняты в дружную семью математики.

Слово «хаос» обычно истолковывается неверно, поскольку в повседневном языке оно часто служит синонимом «беспорядка». Но теория хаоса совершенно детерминистская — множество Мандельброта всегда будет выглядеть одинаково, и любое начальное значение z всегда будет приводить к одной и той же повторяющейся последовательности. Различие между хаотической и случайной системой заключается в том, что случайная система вообще не имеет никакой структуры — это математический эквивалент белого шума, — тогда как хаос систему имеет, хотя очень сложную и трудноуловимую. Однако, хотя порождение фракталов — детерминистский процесс, он непредсказуем: нет никакого алгоритма для того, чтобы заранее решить, будет ли точка относиться ко множеству Мандельброта или нет. Единственный способ сделать это — осуществить итерацию. Цветные версии фракталов — наглядная демонстрация того, сколько шагов итерации будет достаточно, чтобы точка устремилась к очень большой величине, а сложные узоры с расположенными рядом точками разного цвета иллюстрируют, что такие точки в конечном счете будут стремиться разойтись. Известно, что точка на экране компьютера — это пиксель конечного размера, но по мере увеличения разрешения экрана увеличивается и сложность рисунка. Именно поэтому хаотические системы настолько трудно предсказать. Хотя итерации детерминистичны, они также очень чувствительны к начальным значениям. Когда они используются для моделирования систем реального мира, ошибки начальных измерений будут только возрастать. То, что многие природные динамические системы ведут себя хаотично, остается одной из тайн нашей Вселенной.

Может показаться, что теория хаоса рисует довольно гнетущую картину Вселенной как о нестабильном пространстве, которому суждено рассеяться под неустанным гнетом второго закона термодинамики. И все же Вселенная полна четких структур, от регулярных ударов пульсаров до изящных спиралей в молекуле ДНК. Постеленное наступление энтропии, похоже, обращено вспять, по крайней мере, локально — джинн загнан в бутылку. Исследование, как такие структуры появляются, — область математики, называемая теорией сложности вычислений. В исследование сложных систем теперь включено много разделов математики, включая теорию хаоса, теорию искусственного интеллекта, теорию создания систем и теорию автоматов.

Интерес к сложным системам зародился в самых разных областях науки, и ключевой фигурой в работе по их сопряжению был Джордж А. Коуэн. В 1942 году Коуэн, специалист в области химии радиоактивных элементов, работал в Чикагском университете, где итальянский физик Энрико Ферми строил первый атомный реактор — союзники боялись, что немцы уже работают над созданием атомной бомбы. Ранние эксперименты Ферми и его теоретические исследования по вопросу осуществимости цепной реакции были направлены на достижение достаточной энергии для создания атомной бомбы. В то время Коуэн работал в Манхэттенском проекте и после войны стал руководителем исследовательской группы в лаборатории Лос-Аламоса. Именно группа Коуэна проанализировала последствия первого советского атомного взрыва. Он почти тридцать лет служил в Группе Бете — тайной группе ученых, которой был поручен контроль за ядерными исследованиями России. В это время он стал все больше интересоваться проблемами науки и государственной политики. Он считал, что традиционные образовательные методы не дают ученым возможности видеть ни более широкие связи между тем, что казалось разрозненными дисциплинами, ни связь между наукой и более политическими проблемами экономики, экологии и этики. В 1982 году Коуэн ушел из Лос-Аламоса и вошел в состав Совета по науке Белого дома. В то же самое время он зондировал отношение коллег к его мечте — создать центр, посвященный целостному исследованию всех количественных наук.

Рост мощности вычислительной техники позволил ученым исследовать все более сложные уравнения, не только уравнения со многими параметрами, но и так называемые нелинейные уравнения. До этого момента математика по большей части имела дело с линейными уравнениями. Этот подход, хотя и был в свое время очень успешным, теперь, когда речь зашла о точном моделировании сложных систем, начинал казаться ограничением. Но компьютерам было не важно, что решать — линейные или нелинейные уравнения, — они просто производили в большом количестве и с невероятной скоростью как числовые решения, так и решения в графическом виде. Ученые и математики теперь получили новую цифровую лабораторию. Именно нелинейные уравнения позволяют нам рассмотреть взаимосвязи между переменными, которые мы раньше считали совершенно независимыми друг от друга. Началось плодотворное сотрудничество между физиками и биологами, и в Лос-Аламосе даже открылся собственный Центр нелинейных систем. Но Лос-Аламос не должен был отклоняться от своей основной области — ядерной физики, так что Коуэну надо было приискать себе другое место, где он мог бы, опираясь на успех, достигнутый в Лос-Аламосе, распространить исследование на другие области.