Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Самым знаменитым призывом к борьбе за дюжину стала статья писателя Ф. Эмерсона Эндрюса, опубликованная в «Atlantic Monthly» в октябре 1934 года. Эта статья привела к созданию Американского дуодецимального общества (АДО). (Впоследствии название было изменено на Американское дюжинное общество). Эндрюс утверждал, что принятие десятичной системы означало «не имеющую оправдания недальновидность, и ставил вопрос о том, будет ли отказ от нее сопряжен с „колоссальными потерями“». «Duodecimal Bulletin», который продолжает выходить по сей день, представляет собой отличное издание и единственное место за пределами медицинской литературы, где появляются статьи о гексадактильности — шести пальцах при рождении. (Она распространена более широко, чем можно было бы подумать: один из каждых 500 людей рождается по крайней мере с одним лишним пальцем на руках или ногах.) Юношеская страсть Майкла де Флигера к основанию 12 не увяла; в настоящий момент он является президентом АДО. Майкл столь привержен к этой системе, что использует ее в своей работе дизайнера цифровых архитектурных моделей.

Как мы уже отмечали, таблицу умножения с основанием 12 учить определенно легче. Но еще одно величайшее преимущество этого основания заключается в том, что оно облегчает действия с дробями. Когда вы собираетесь поделить одно число на другое, основание 10 зачастую проявляет изрядную строптивость. Например, одна треть от 10 равна 3,33…, где тройки продолжаются до бесконечности. Четверть от 10 равна 2,5, где потребовался разряд после запятой. При основании же 12 треть от 10 — это 4, а четверть от 10 — это 3. Неплохо, правда? Будучи выражена в процентах, треть становится 40 процентами [5] Терминология, как это часто бывает при работе с другими основаниями, требует осторожности. Речь идет не о про центах, то есть не о сотых долях, а о сто сорок четвертых долях. Для полной ясности выполним деление, пользуясь десятичной системой, а затем переведем результат в двенадцатеричную. Будем указывать основание в виде нижнего индекса: 100 12 /3 = 144 10 /3 = 48 10 = 40 12 ( Примеч. перев. ) , а четверть — 30 процентами. На самом деле, если посмотреть, как именно 100 делится на числа от 1 до 12, то станет ясно, что основание 12 приводит к более компактной системе:

(точка с запятой означает «дюжинную запятую»)

Именно из-за этой возросшей точности основание 12 оказывается лучше приспособлено к тому, что требуется Майклу. Пусть даже его клиенты сообщают ему замеры в десятичной системе, он все равно предпочитает перевести их в дюжинную. «У меня появляется больше свободы, когда дело касается разбиения на несколько частей, — говорит он. — Когда не имеешь дела с путаными дробями, легче удостовериться, что все ко всему подходит. Иногда, из-за сжатых сроков или внесенных в последний момент изменений, мне приходится быстро много чего поменять прямо на месте, — сделать такое, что не укладывается в первоначальную разметку. Вот тогда важно иметь предсказуемые простые отношения. Для дюжин у меня больше выбора, с ними проще, чем с десятками, и делается все быстрее». Более того, Майкл полагает, что использование основания 12 дает его бизнесу определенное преимущество, подобное тому, что получают велосипедисты и пловцы, полностью сбривая волосы на ногах.

Первейшая задача АДО состоит в том, чтобы числительные, выражающие дек и эл, присутствовали в стандарте кодирования «Unicode» — наборе текстовых символов, используемом большинством компьютеров. На самом деле в обществе ведутся серьезные дебаты о том, какие именно символы использовать. Принятые в АДО стандартные символы Χ и Ƹ изобрел в 1940-х годах Уильям Эддисон Двиггинс — один из самых значительных дизайнеров типографских шрифтов в Соединенных Штатах, создавший шрифты Futura, Caledonia и Electra. Французский приверженец основания 12 Жан Эссиг предпочитает символы и . Некоторые, настроенные более практично, склонны использовать символы * и #, потому что они уже присутствуют среди 12 кнопок на панели телефона. Выбор слов для этих чисел — также дело вкуса. «Учебник по дюжинной системе» (написанный в 1960 — или, если считать по-дюжинному, в 1174 году) рекомендует термины дек, эл и дю (а еще гро для 100, мо для 1000 и дю-мо, гро-мо, би-мо и три-мо для следующих в порядке возрастания степеней числа дю). Другое предложение состоит в том, чтобы сохранить слова десять, одиннадцать и двенадцать, но далее продолжать счет как двен-один, двен-два. Вопрос о терминологии оказался столь чувствительным, что АДО благоразумно не спешит пропагандировать какую-либо одну систему.

Пристрастие Майкла к авангардным основаниям не ограничилось числом 12. Он побаловался немного с числом 8 — его он иногда использует, когда мастерит что-нибудь по дому. «Я использую основания как инструменты», — говорит он. Он экспериментирует и увеличивая основания — так он добрался до основания 60. Эта задача потребовала от него изобретения 50 новых символов в дополнение к тем 10 цифрам, что уже имеются. Здесь он не ставил перед собой задач практических. По его словам, работа в системе с основанием 60 — это как подъем на высокую гору. «Я не в состоянии там жить. Слишком большая группировка получается. Внизу, в долине, числа группируются по десять, и там я могу дышать. Но при подъеме на гору мне открывается впечатляющий вид». Он составил таблицу делителей по основанию 60 — что называется еще шестидесятеричной системой — и зачарованный глядел на открывающиеся там закономерности. «Определенно там скрывается красота», — сказал он мне.

Хотя использование основания 60 может показаться плодом нездорового воображения, шестидесятеричная система имеет солидную историческую родословную. Это и в самом деле самая древняя из известных нам основных систем счисления.

Простейшие обозначения для чисел — это насечки или зарубки. В различных формах они использовались по всему миру. Инки вели счет, завязывая узелки на веревке, а обитатели пещер наносили метки на скальные стены. С момента изобретения деревянной мебели столбики кровати размечаются — по крайней мере, метафорически — насечками. Полагают, что самый древний из открытых «математических артефактов» — найденная в пещере в Свазиленде счетная палочка, сделанная из берцовой кости бабуина, ее возраст насчитывает 35 000 лет. На этой палочке, называемой «костью из Лебомбо», нацарапаны 29 линий, вероятно обозначавших лунный цикл.