Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Нумерология, конечно, стала постоянным блюдом в меню современного мистицизма, где нет недостатка в специалистах, дающих советы по поводу чисел в лотерее или желающих порассуждать о значимости и знамениях, связанных с предполагаемой датой. На первый взгляд, это вполне безвредная забава — и я получил истинное удовольствие, разговаривая с Джеромом Картером, — однако же приписывание числам спритуального значения может иметь и зловещие последствия. В 1987 году, например, военное правительство в Бирме выпустило в обращение денежные банкноты, значение которых выражалось числами, делящимися на 9. Сделано это было по одной причине — любви к числу 9 генерала, возглавлявшего хунту. Новые банкноты ускорили наступление экономического кризиса, приведшего к восстанию 8 августа 1988 года — восьмого числа восьмого месяца восемьдесят восьмого года, — так что восьмерка оказалась избранным числом антидиктаторского движения. Протестные выступления, впрочем, жестоко подавили 18 сентября: в девятый месяц и в число, которое делится на 9.

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти слова отпечатаны у меня в мозгу, как один из первых детских стишков или как рождественский гимн; эта фраза вызывает ностальгическое ощущение и умиротворяет независимо от содержащегося в ней смысла.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, а прямой угол — это четверть полного оборота. Теорема Пифагора — абсолютный чемпион по популярности во всех начальных курсах по геометрии, первая действительно наводящая на размышление математическая концепция, изучаемая в школе. Меня в ней восхищает, насколько глубокую связь она вскрывает между числами и пространством. Не у всех треугольников имеется прямой угол, но, когда такой угол есть, сумма квадратов двух сторон должна быть равна квадрату третьей. Теорема верна и в противоположном направлении: возьмем любые три числа. Если сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего, то можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут как раз заданными числами.

Теорема Пифагора

В ряде комментариев о Пифагоре говорится, что до основания братства он предпринял путешествие в Египет с целью сбора фактов. Если бы он заглянул на египетскую строительную площадку, то наверняка бы заметил, что для создания прямого угла рабочие использовали прием, представляющий собой применение теоремы, позднее названной его именем. На веревке делались отметки в виде завязанных узлов на расстояниях, равных 3, 4 и 5 единицам. Поскольку 32 + 42 = 52, когда веревкурастягивали между тремя колышками так, чтобы у каждого колышка оказывался узел, она образовывала треугольник, один из углов которого был прямым.

Натягивание веревки — самый удобный способ получения прямых углов, необходимых для того, чтобы кирпичи или гигантские каменные блоки, подобные тем, что использовались при строительстве пирамид, можно было слой за слоем класть друг на друга [15] Быть может, полезно вспомнить, что строительство знаменитых египетских пирамид прекратилось примерно за тысячу лет до того, как жил Пифагор. ( Примеч. перев. ) . (Слово «гипотенуза» происходит из греческого слова, означающего «протянутая, растянутая снизу».) Чтобы получить настоящий прямой угол, египтяне могли использовать и много других чисел, кроме 3, 4 и 5. В действительности имеется бесконечное количество чисел а, b и с, таких что а 2 + b 2= с 2. Египтяне могли бы отметить на своих веревках, например, длины в 5, 12 и 13 единиц, потому что 25 + 144 = 169, или длины 8, 15 и 17, потому что 64 + 225 = 289, или даже 2772, 9605 и 9997, потому что 7 683 984 + 92 256 025 = 99 940 009, хотя это едва ли удобно на практике. Числа 3, 4, и 5 подходят для решения задачи лучше всего. Помимо того что это наименьшая такая тройка чисел, это еще и единственная тройка, в которой целые числа идут подряд. Из-за наследия, оставшегося от натягивания веревок, прямоугольный треугольник со сторонами, находящимися в отношении 3:4:5, известен как «египетский треугольник». Это карманная машина для построения прямых углов — жемчужина нашего математического достояния, интеллектуальный продукт колоссальной мощи, элегантности и точности.

Квадраты, фигурирующие в теореме Пифагора, можно понимать как числа, а можно и как картинки — буквально, как квадраты, нарисованные на сторонах треугольника. Представим себе, что квадраты на сторонах треугольника, изображенного на рисунке, сделаны из золота. Предлагается или выбрать два меньших квадрата, или взять самый большой. Что лучше?

Учитель математики Реймонд Смулльян говорит, что, когда он задает этот вопрос своим ученикам, половина класса желает взять один большой квадрат, а другая половина — два меньших квадрата. И те и другие очень удивляются, когда он сообщает им, что никакой разницы нет.

Это так потому, что, как утверждает теорема, общая площадь двух меньших квадратов равна площади большего квадрата. На каждом прямоугольном треугольнике можно построить таким способом три квадрата, так что площадь большего можно в точности разделить на площади двух меньших. И так получается всегда.

Неизвестно, действительно ли честь открытия этой теоремы принадлежит Пифагору, однако еще с античных времен имя его прочно связано с ней. Эта теорема подтверждает его мировоззрение, демонстрируя замечательную гармонию математической вселенной. И действительно, теорема выявляет связь более глубинную, чем просто между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь полуокружности, построенной на гипотенузе, например, равна сумме площадей полуокружностей, построенных на двух других сторонах. Площадь пятиугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей пятиугольников, построенных на двух других сторонах; то же верно для шестиугольников, восьмиугольников и вообще для любых правильных или неправильных фигур. Если, скажем, к сторонам прямоугольного треугольника пририсовать три портрета Моны Лизы, то площадь большой Моны будет равна площади двух меньших.

Больше всего меня восхищает в теореме Пифагора то, что я понимаю, почему она верна. Простейшее доказательство таково. Оно восходит к древним китайцам, возможно к тем временам, когда Пифагор еще не родился, и представляет собой одну из причин, по которой многие подвергают сомнению, что именно он был первым, кто предложил эту теорему.