Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Начиная с 1666 года Ньютон рассматривал кривые (флюенты) как результат движения точки. Тогда же он сформулировал понятие флюксии — производной по времени. Отметим, что флюксия флюента в данный момент времени (иными словами, мгновенная скорость) — это число. Он разработал алгоритмы вычисления флюксий, эквивалентные современным правилам нахождения производной для сумм, разностей, произведений и дробей, а также показал, что для расчета площади области, ограниченной кривой, достаточно вычислить флюент флюксии. Говоря современным языком, это означает, что нужно найти первообразную функции и применить основную теорему анализа. Именно здесь используются степенные ряды: в соответствии с нынешней терминологией, для расчета флюента флюксии последняя раскладывается в степенной ряд, после чего выполняется почленное интегрирование по правилу нахождения интеграла степенной функции.

Лейбниц, напротив, рассматривал кривые как ломаные линии из прямых отрезков бесконечно малой длины, а касательные — как продолжения этих отрезков. Он полагал, что геометрия кривой, описанная формулой, которой задается кривая, определяет дифференциалы аргумента и функции. Он также «определил» понятия дифференциала и интеграла, точнее говоря, описал их особенности, в отличие от Ньютона, который рассматривал дифференциал функции как бесконечно малую величину. Он доказал, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, то есть доказал основную теорему анализа и описал процесс вычисления дифференциалов (сформулировал правила вычисления производных), а также вычислил производные элементарных функций. Производные элементарных функций Лейбниц описал в намного более символическом виде, чем Ньютон: Лейбниц отдавал предпочтение свернутым выражениям, а не разложениям в ряд.

Важной особенностью методов Лейбница является то, что он всегда разделял открытие разложения в степенной ряд и открытие анализа бесконечно малых. Открытие разложения в степенной ряд он неизменно приписывал Ньютону, в то время как вокруг анализа бесконечно малых развернулась нешуточная борьба. Лейбниц считал, что первенство принадлежит ему, и полагал, что Ньютон совершил свое открытие, используя письма Лейбница, написанные им в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior. Ньютон же настаивал на том, что оба открытия неразделимы, и утверждал, что Лейбниц, узнав от него о способе разложения в ряд, был обязан ему открытием дифференциального исчисления.

Хотя Ньютон первым открыл и описал свой вариант математического анализа, на 10 лет опередив Лейбница, последний опубликовал свои результаты раньше. В первой своей статье, опубликованной в 1684 году, Лейбниц не упоминает Ньютона, но говорит о нем во второй статье (1686 год): «Дабы не казалось, что я приписываю себе излишне много либо недооцениваю остальных, следует упомянуть в нескольких словах о том, что моей формуле я особенно обязан прославленным математикам нашего века в жанре геометрии. <���…> Кроме того, светлейший математик Николас Меркатор из Гольштейна был первым, насколько мне известно, кто нашел квадратуру с помощью бесконечного ряда. Независимо от него это открытие совершил, а также улучшил его геометр величайшего дарования Исаак Ньютон, который, если бы дал нам ознакомиться с его мыслями, которые, насколько я понимаю, он имеет, то открыл бы нам новые пути к удивительным открытиям и научным трудам».

Ньютон упомянул Лейбница при первой же возможности. Эта возможность представилась ему в 1687 году, при публикации первого издания «Начал». Как известно, в «Началах» Ньютон предпочел использовать язык геометрии, подобно древним грекам. В кульминационные моменты спора он часто указывал, что использовал анализ флюксий для вывода значительной доли результатов, изложенных в «Началах», однако затем изложил их на языке геометрии.

Возможно, дело и правда обстояло так, как указывает Ньютон, но этому нет документальных подтверждений. Как неоднократно указывает Уайтсайд, рукописи, где, по словам Ньютона, с помощью анализа флюксий выводятся результаты, изложенные в «Началах», так и не были найдены. Тем не менее Вестфолл пишет: «Проблема, связанная с «Началами», заключается не в том, чтобы найти доказательства, полученные другим способом, а в том, чтобы обнаружить признаки математического анализа, скрытые за завесой геометрии».

Анализ флюксий Ньютона вообще не упоминается в «Началах», за исключением леммы II книги II, что мы уже указывали в главе 3. В этой лемме Ньютон вкратце излагает современные правила вычисления производной. Он приводит примечание к этой лемме, где цитирует Лейбница и явно заявляет права на создание математического анализа. Так Ньютон отреагировал на первую публикацию Лейбница, посвященную анализу бесконечно малых. Это примечание звучит следующим образом: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г.Г. Лейбницем, я ему сообщал, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково приложимою как для членов рациональных, так и для иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего предложения: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa» («Когда задано уравнение, содержащее любое число переменных количеств, найти флюксии, и наоборот»). Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такую методу, и сообщил мне свою методу, которая оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами и начертанием формул. Основа обоих метод содержится в этой лемме». Ньютон написал это примечание с целью заявить право первенства на открытие анализа, однако так как ранее он не публиковал ничего по этому вопросу, в отличие от Лейбница, а письма, которыми обменивались Ньютон и Лейбниц, были известны лишь узкому кругу его друзей, примечание было понято как знак того, что Ньютон признает за Лейбницем право первенства.

В конце 1691 года, спустя четыре года после выхода «Начал», в кругах, близких к Ньютону и Лейбницу, стали циркулировать слухи о том, чему именно Лейбниц научился у Ньютона. Так, Фатио де Дюилье писал Гюйгенсу: «Господин Ньютон, несомненно, является первооткрывателем дифференциального исчисления, так как оно было ему известно еще до того, как господин Лейбниц получил о нем первое представление. Более того, это представление он мог получить лишь после того, как увидел записи господина Ньютона. Поэтому я крайне удивлен тем, что господин Лейбниц не упоминает об этом в журнале Acta». Фатио вернулся к этой теме 5 февраля 1692 года: «Не сомневаюсь, что публикация писем [Epistolae prior и Epistolae posterior] повлечет за собой унижение для господина Лейбница, так как он опубликовал свои правила дифференциального исчисления лишь по прошествии достаточного времени после их получения и сделал это без упоминания о господине Ньютоне. Они были представлены в виде переделки того, что получил господин Ньютон, и если мы сравним их, то не сможем отделаться от мысли, что разница между ними такова же, как между совершенным оригиналом и грубой и несовершенной копией».