Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

В 1820 году Лежандр опубликовал дополнение к работе 1805 года, снова споря с Гауссом по вопросу об авторстве метода. Последующее изучение заметок Гаусса и свидетельство Ольберса, который заверил, что Гаусс показал ему записи о методе еще в 1802 году, когда они оба работали над определением орбиты Паллады, подтверждают правоту Гаусса. И это был не последний случай, когда два великих современника спорили об авторстве математических результатов.

Спор нанес ущерб математике, поскольку Лежандр начал испытывать необоснованные подозрения, что Гаусс копирует его работы с помощью его самого знаменитого ученика, Карла Густава Якоба Якоби, и запретил Якоби сотрудничать с Гауссом, хотя они оба долгие годы работали над одной темой — эллиптическими функциями. Как мы увидим далее, в этой теме и во многих других Гаусс шел нога в ногу с Лежандром. Узнав о беспочвенных обвинениях, Гаусс отразил удар. В 1806 году, в письме астроному Генриху Христиану Шумахеру (1780— 1850), он пожаловался:

«Похоже, что мне предназначено совпадать с Лежандром почти во всех своих теоретических работах. Так произошло с высшей арифметикой, с исследованиями трансцендентных функций, связанных со спрямлением [процессом нахождения длины дуги кривой] эллипса, с основами геометрии, и теперь снова здесь с методом наименьших квадратов».

После посмертной публикации работ Гаусса и переписки последних лет все старые споры были решены в пользу немецкого математика.

Такие разногласия были очень распространены среди математиков той эпохи, поскольку они часто запаздывали с публикацией своих открытий, да и само научное общение посредством писем было крайне неспешным, в результате разные ученые независимо работали над одной и той же проблемой и так же независимо друг от друга получали одинаковые результаты. Сегодня с помощью электронных средств коммуникации, особенно интернета, а также при наличии требования публиковать результаты как можно быстрее математик-исследователь может почти сразу же узнать о работах своих коллег, избегая многих подобных споров.

Лежандр (1752-1833) вместе с Лапласом, Лагранжем и Коши работал в период, который можно считать золотым веком французской математики. Он получил прекрасное образование в Коллеже Мазарини в Париже, где изучал физику и математику до 1770 года. С 1775 по 1780 годы Лежандр преподавал в военной школе, а с 1795 — в Нормальной школе.

В 1782 году ему была предоставлена премия Берлинской академии за изучение траекторий снарядов. Ученый внес важный вклад в статистику, теорию чисел и математический анализ, и его работы послужили основой для более поздних математических открытий. В частности, исследования норвежца Нильса Хенрика Абеля об эллиптических функциях были построены на постулатах, разработанных Лежандром, который провел фундаментальную работу в этой области, включая классификацию эллиптических интегралов. Вклад математика в этой области был дополнен его учеником Карлом Густавом Якобом Якоби. Также работу Лежандра дополнял и Гаусс в своих исследованиях, касавшихся статистики и теории чисел, однако между этими двумя учеными состоялось несколько споров о первенстве их открытий. В 1830 году Лежандр представил доказательство тогда еще гипотезы Ферма для n = 5. Также ему принадлежат первые работы по распределению простых чисел и по применению анализа к теории чисел, в чем он вновь совпал с Гауссом.

Карикатура на Лежандра, созданная в 1820 году французским художником Луи-Леопольдом Бальи.

Кроме вычисления пространственных орбит, как мы увидим далее, метод наименьших квадратов имеет большой потенциал применения в других областях математики, особенно в статистике. Решение уравнений методом наименьших квадратов зависит от данных о функции ƒ, связывающей переменные, которые нам известны, и от сложности этой функции. Самый простой случай — когда функция имеет вид прямой, то есть Y = а + bХ. Вычисление параметров а и b получается простым расчетом на основе n пар двумерных данных (х 1, y 1), (х 2, у 2),..., (x n, y n). После применения техники наименьших квадратов получаем, продифференцировав и приравняв к нулю, уравнения, известные под названием нормальных уравнений:

откуда выводятся значения a и b:

где Cov(X, Y) — это ковариация переменных, Sx² и x — вариация и среднее значение переменной X, соответственно, а у — среднее значение переменной Y. Итоговую прямую называют регрессионной прямой. Такие вычисления позволяют определить возможное значение одной переменной на основе известного значения другой. Представим, что мы выбрали n индивидов, у которых пропорция между весом и ростом нормальная. На основе этих n пар данных мы делаем вычисления соответствующей регрессионной прямой. С помощью этого уравнения мы можем определить средний ожидаемый вес человека, зная его рост, — это вычисление используется по сей день. Рассмотрим следующую таблицу данных.

Проведя вычисления для получения регрессионной прямой, получаем, что Y= 0,808Х - 68,912, где Υ — вес, а Х — рост. На графике на следующей странице представлены реальные точки и регрессионная прямая, вычисленная методом наименьших квадратов. Прямая позволяет нам спрогнозировать средний вес человека с ростом 179 сантиметров: Υ = 0,808 · 179-68,921 = 75,71.

Чем сложнее функция ƒ, тем сложнее вычисления, но тем большую точность мы получаем в итоге.

Значительная часть статистики — это формулирование предположений, то есть извлечение выводов о параметрах аудитории на основе репрезентативной выборки. Эти выводы получены с помощью функции выборки, называемой статистической оценкой, которая предполагает оценку поведения целевой аудитории. Для статистического предположения принципиальную роль играет теорема Гаусса — Маркова. В ней утверждается, что при выполнении определенных гипотез статистическая оценка, полученная методом наименьших квадратов, является оптимальной.