Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

3. Гипотеза Пуанкаре. Предложена в 1904 году знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912). В ее самом простом выражении говорится, что есть только одна компактная односвязная разновидность размерности 3 — трехмерная сфера. Это единственная решенная проблема в списке — корректное доказательство в 2003 году представил российский ученый Григорий Перельман (р. 1966). За это открытие ему было решено вручить Филдсовскую премию, однако ученый от награды отказался.

4. Гипотеза Римана. В ней утверждается, что действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2.

5. Задача Янга — Миллса. Поставлена как математическая задача и относится к изучению уравнений Янга — Миллса, крайне важных для объединения квантовой электродинамики с теорией электрослабого взаимодействия.

6. Задача Навье — Стокса. Изучение существования решения для основных уравнений движения вязких жидкостей.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Состоит в изучении того, бесконечным или конечным является множество рациональных решений для эллиптической кривой.

При этом он начал с вычисления нетривиальных нулей функции и на основе этих вычислений и глубокого понимания сути дзета-функции предположил, что действительная часть любого нетривиального нуля функции равна 1/2. Это утверждение известно как гипотеза Римана.

Риман сразу же понял, что его гипотеза может объяснить причину, по которой результат Гаусса с функцией Li(N) оказался таким точным. Позже было доказано, что гипотеза Римана эквивалентна первой гипотезе о простых числах Гаусса.

Перфекционизм, которым страдал Риман в период своего обучения, чуть не помешал ему записать свои открытия. Без сомнения, так сказывалось влияние Гаусса, который настаивал на том, что публиковать следует только идеальные доказательства, абсолютно лишенные пробелов. В ноябре 1859 года Риман опубликовал в ежемесячных заметках Берлинской академии эссе о своих открытиях. Этим десяти страницам плотных математических рассуждений было суждено быть единственными, которые Риман опубликовал по вопросу простых чисел, и несмотря на это они оказали значительное влияние на восприятие данных чисел в будущем. И все же, несмотря на блестящую интуицию Римана, эссе не было оценено. Вслед за своим учителем, Гауссом, Риман уничтожил все «леса». Главный тезис эссе состоял в том, что функция L.(N) Гаусса будет предоставлять каждый раз все лучшее приближение к функции π(Ν) по мере нашего продвижения в расчетах. Хотя Риман предложил инструмент доказательства гипотезы Гаусса, решение осталось вне досягаемости. Впрочем, Риман ввел форму, с помощью которой в будущем оказалось возможным подступиться к проблеме. Доказательство гипотезы Римана сразу же захватило математиков.

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, моим первым вопросом было бы: доказали ли уже гипотезу Римана?

Давид Гильберт, математик, предложивший в 1900 году знаменитый список ИЗ 23 НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМ

В 1890 году по предложению Шарля Эрмита (1822-1901), одного из главных французских знатоков теории чисел, Парижская академия учредила премию — Grand Prix des Sciences Mathematiques — за доказательство первой гипотезы Гаусса о простых числах. Работу по этой теме представил ученик Эрмита, Жак-Саломон Адамар (1865-1963). Хотя он не предложил полного доказательства, его идей было достаточно для того, чтобы стать лауреатом премии. В 1896 году Адамару удалось заполнить лакуны своего первого доказательства, и ему не нужно было опираться на гипотезу Римана о том, что у нетривиальных нулей действительная часть равна одной второй. Адамару достаточно было доказать, что ни у одного нетривиального нуля нет действительной части, большей единицы, и он смог это сделать.

Спустя век после того, как Гаусс открыл связь между простыми числами и логарифмической функцией, наконец появилось доказательство гипотезы Гаусса о простых числах. Поскольку речь шла уже не о гипотезе, с этого момента она стала называться теоремой Гаусса о простых числах. Безусловно, Адамар не смог бы достичь успеха в своей работе без вклада Римана. Адамару пришлось разделить славу с бельгийским математиком Шарлем ла Валле Пуссеном (1866-1962), который в том же году нашел другое доказательство того же результата.

Следовательно, теперь оставалось только доказать или опровергнуть вторую гипотезу Гаусса о простых числах. Но если доказательство гипотезы Гаусса было подвигом, то попытка оспорить его догадку требовала уже поистине нечеловеческих усилий. Однако Джон Идензор Литлвуд (1885-1977), английский математик первой половины XX века, взялся за работу. Литлвуд был выдающимся учеником Годфри Харолда Харди (1877-1947), он получил известность благодаря работам по теории чисел, неравенств и теории функций. В 1912 году Литлвуд открыл, что гипотеза Гаусса — это мираж, что существуют области, где истинное количество простых чисел недооценено. Он осуществил доказательство с помощью математических рассуждений, поскольку нет способа наглядно аргументировать, что Гаусс ошибся. И на самом деле до сегодняшнего дня никому не удалось дойти до области чисел, в которой гипотеза Гаусса оказалась бы ложной. Несколькими годами позже, в 1933 году, студент Литлвуда по имени Стенли Скьюз (1899-1988) установил, что только когда обнаружатся простые числа порядка 10 101034, мы столкнемся с недооценкой количества простых чисел со стороны интегрального логарифма Гаусса. Но речь идет о настолько огромном числе, что мы должны проявить снисхождение к неточности, допущенной великим мастером.

Гаусса с юности привлекала геометрия. Необычайная изобретательность привела его к поиску альтернатив евклидовой геометрии, которая в его время считалась единственно возможной. Также ученый внес большой вклад в дифференциальную и прикладную геометрию, особенно в геодезию. В области физики он сотрудничал с такими известными фигурами, как Вебер и Гумбольдт, и оставил свой след в таких разделах, как магнетизм и динамика.

Гаусс был человеком постоянных привычек, и он не хотел менять их по причинам, которые считал незначительными. Так, он всячески избегал длительных поездок, разве что речь шла о том, чтобы добыть материал для научной работы. Математик вполно комфортно чувствовал себя в Гёттингене или Брауншвейге, и его жизнь мирно протекала в этих городах и их окрестностях.

Как и другие великие ученые того времени, Гаусс получал многочисленные приглашения читать лекции из других городов и даже стран. Гёттинген был маленьким провинциальным городом, и многие считали, что главному математическому гению Германии следовало бы жить в более прогрессивном центре страны — Берлине. В 1822 году и в период 1824-1825 годов между образовательными властями Берлина и Гауссом шли серьезные переговоры о его переезде в университет столицы Пруссии. Эта территория недавно сбросила с себя французское владычество, и ее население вновь охватывал дух национального возрождения. Братья Гумбольдты — Александр (1769— 1859), ученый и исследователь, и Вильгельм (1767-1835), просвещенный политик, — пытались возбудить в австрийцах патриотическое чувство, поэтому для них было очень важно, чтобы Гаусс оказался в том месте, которое должно было стать истоком новой страны. С другой стороны, вторая супруга ученого, Минна (как и остальные члены ее семьи) подталкивала Гаусса переехать в Берлин, где было больше новых возможностей. В это же время скончался секретарь научного отдела Берлинской академии, и Гауссу сразу же предложили эту престижную и намного выше оплачиваемую должность, чем была у него в Гёттингене.