Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
- Название:Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
- Автор:
- Жанр:
- Издательство:ООО «Де Агостини»,
- Год:2012
- ISBN:нет данных
- Рейтинг:
- Избранное:Добавить в избранное
-
Отзывы:
-
Ваша оценка:
Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел краткое содержание
При жизни Карл Фридрих Гаусс получил титул короля математиков. Личность этого ученого можно сравнить с личностью другого его гениального современника и соотечественника — Вольфганга Амадея Моцарта. Оба были вундеркиндами, которым покровительствовали и помогали получить образование представители власти. Но в отличие от композитора, Гауссу повезло прожить долгую и спокойную жизнь. Он сделал много открытий в таких научных областях, как геометрия, астрономия, физика и статистика.
Прим. OCR: Знак "корень квадратный" заменен на SQRT(), врезки обозначены жирным шрифтом.
Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел - читать онлайн бесплатно полную версию (весь текст целиком)
Интервал:
Закладка:
Ключевым в жизни Гаусса был 1831 год. За год до этого его сын Ойген уехал в США из-за семейных размолвок, а в этом году умерла Минна, вторая супруга ученого, — возможно, от туберкулеза, и его дочь Тереза взяла на себя ведение хозяйства. В конце этого же года в Гёттинген приехал Вильгельм Вебер, чтобы занять место преподавателя физики. С этого момента павший было духом Гаусс вновь нашел в науке спасение от своих семейных бед.
Как в научных, так и в дружеских отношениях между Гауссом и Вебером царила полная гармония; Вебер познакомил математика с новыми областями исследования, часть из которых была экспериментальной. Плодотворное сотрудничество, да и само присутствие коллеги помогли Гауссу пережить этот тяжелый период. Он всегда интересовался физикой, но многие его исследования, исключая сделанные в области астрономии и геодезии, носили сугубо теоретический характер. Прежде чем познакомиться с Вебером, Гаусс занялся вариационным исчислением, которое было одной из центральных тем XVIII века. Оно может быть рассмотрено как математическая задача, но является базовым для многих задач физики. Вариационные задачи — это задачи на оптимизацию, в них речь идет о нахождении лучшего значения, но здесь оптимум — это не значение, а функция.
Мы привыкли рассматривать задачи на оптимизацию, которые математически формулируются как:
Min: ƒ(х)
а:х е S,
где S — множество значений, между которыми мы можем искать решение, что называется допустимым множеством. Функция ƒ также называется целевой функцией. С математической точки зрения не существует никакой разницы, заключается задача в максимизации или минимизации, поскольку можно совершить замену, всего лишь изменив знак целевой функции, так что следующая проблема равносильна предыдущей:
Min: -ƒ(х)
а:х е S,
В зависимости от типа функции ƒ и свойств допустимого множества у нас получится тот или иной тип задачи. Решение этого типа задач может быть как числом, так и вектором (рядом), в случае функции, определенной в пространстве с несколькими измерениями.
Вильгельм Вебер (1804-1891) — немецкий физик первой половины XIX века. Получил образование в Университете.Галле и остался в нем преподавать до 1831 года, когда перешел в Гёттингенский университет. Там ученый подружился с Гауссом, с которым сотрудничал в исследованиях по электричеству и магнетизму.
В 1833 году они изобрели новый тип телеграфа — зеркальный гальванометр Гаусса — Вебера. Позже физика исключили из Гёттингенского университета за оппозицию к властям.
В 1843 году он начал преподавать в Лейпцигском университете и остался там до 1849 года, затем вернулся в Гёттинген и через некоторое время был назначен директором астрономической обсерватории этого города — на должность, которую до него занимал Гаусс. Вебер работал над установлением абсолютных единиц измерения электрического тока и посвятил последние годы жизни изучению электродинамики, разработав ее основы для последующего создания электромагнитной теории света.

Рассмотрим простой пример. Булочник каждый день печет один вид буханок хлеба. С одной стороны, он хочет удовлетворить своих клиентов и испечь достаточно хлеба, а с другой — он не хочет создать избыток товара, который не найдет покупателя в этот же день. Сделав исследования спроса и предложения, мы можем найти решение, которое принесет булочнику наибольшую прибыль, и вполне можно предположить, что решение будет натуральным числом. Если он печет несколько видов хлеба, например ржаной, кукурузный и пшеничный, решение будет не одним числом, а множеством из трех чисел, которое укажет, сколько буханок каждого типа ему нужно выпечь. Решение будет вектором.
Теперь подумаем о другом примере оптимизации. Мы на улице, и кто-то спрашивает нас, как быстрее попасть на автобусную остановку. Ответ не может быть числом и даже списком чисел. Логичным ответом было бы объяснение дороги: куда надо идти, где повернуть и так далее. Этот тип ответа лучше всего привести к математическому описанию с помощью функции, которая дает тому, кто пользуется ею, критерий к действию в зависимости от места, в котором он находится в каждый момент пути. Задачи на оптимизацию, в которых решение — это функция, известны как вариационные проблемы, и они очень широко применяются в физике.
В 1829 году появилась короткая публикация Гаусса о проблеме вариационного исчисления в механике, в которой он ввел понятие принципа наименьшего принуждения. Под принуждением к движению Гаусс понимал ограничения, которым подвержено движение в любой физической системе. Ученый утверждал, что природа стремится сделать принуждение минимальным:
«Очень заметно, что свободные движения, когда они не могут сосуществовать с необходимыми условиями, модифицируются при родой точно так же, как математик, согласно методу наименьших квадратов, приводит к согласию наблюдения, связанные между собой необходимыми зависимостями. Можно продолжить эту аналогию, но это не является сейчас моей целью».
Идея состоит в том, что природа действует наиболее свободным способом из тех, которые возможны при наложенных ограничениях. Как видно, здесь снова появляется отсылка к одному из главных открытий Гаусса — методу наименьших квадратов.
Ученый сделал многое для того, чтобы математика могла сочетаться с физикой. В своей работе Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii («Общие принципы теоретической схемы жидкостей в состоянии равновесия») 1830 года он вновь рассмотрел вариационную задачу, связанную с определением рисунка равновесия поверхности жидкости при учете гравитации и сил капиллярности и адгезии:
«В результате деликатного и сложного исследования мы получаем состояние равновесия, которое доступно здравому смыслу и показывает адаптацию под несколько превалирующих сил в конфликте».
Снова та же самая идея принципа наименьшего принуждения, в этот раз примененного к механике жидкостей.
В рамках идей того же порядка Гаусс работал с формализацией и математическими свойствами ньютоновского притяжения, создав так называемую теорию потенциала. Именно в этом контексте появляется знаменитый закон Гаусса: «Поток в гравитационном поле через произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален общей массе, заключенной в этой поверхности», где гравитационное поле — это множество сил, которые представляют гравитацию. Этот результат сокращает до элементарных вычислений работу, которая раньше требовала специально разработанных методов.
Читать дальшеИнтервал:
Закладка: