Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

"И Цзин", или "Книга перемен",— это древнекитайская книга для гадания, с помощью которой можно узнать будущее, связанное с семьей и другими аспектами жизни. В ней развивается даосистская философия инь и ян. Она была написана мифическим императором Фу Си около 2400 года до н. э. и дополнена в последующие эпохи, например Конфуцием в 500 году до н. э.

Толкование книги основывается на ряде символов (гексаграмм), каждый из которых имеет разное значение в зависимости от контекста. Они образованы непрерывными и пунктирными линиями, сгруппированными в триграммы. Каждая гексаграмма состоит из сочетания двух триграмм в разных вариантах. Восемь триграмм показаны на следующем рисунке.

Если соединить две триграммы всеми возможными способами, получаются 64 возможные гексаграммы, образованные шестью линиями. Хотя Буве думал, что это было создание самого Фу Си, именно китайский философ Шао Юн (1011-1077) придал гексаграммам вид, напоминающий двоичную систему На следующем рисунке мы можем увидеть некоторые из гексаграмм. Хотя китайцы не знали нуля, если рассматривать пунктирную линию как нуль, а непрерывную — как единицу, мы можем увидеть первые зашифрованные двоичные числа.

Так можно обозначить двоичные числа от 0 до 63. Достаточно назначить гексаграмме двоичный код и превратить его в десятичное число. Например, гексаграмма на следующем рисунке обозначала бы число:

101001 (2= 1·2 5+ 0·2 4+1·2 3+ 0·2 2+ 0·2 1+ 1·2° = 32 + 8+1 =41.

Обычно мы воспринимаем вещи, которые знаем с детства, так, словно они были всегда. Кажется, что интернет, мобильные телефоны, компьютеры и телевидение существуют уже давным- давно, хотя многие из нас жили еще в те времена, когда их еще не изобрели. С символами, используемыми в науке, происходит то же самое. Мы привыкли писать и совершать операции с числами и функциями, используя символы, которые, кажется, были всегда. При этом, например, арабские цифры, сопровождающие нас в повседневной жизни, более "новые" для нашей культуры, нежели римские.

В XVI и XVII веках одной из сложностей для обмена результатами исследований или понимания разработок других ученых было именно отсутствие четкой и унифицированной записи.

Символы + и - для операций сложения и вычитания начали применяться только в XV веке в Германии. После этого еще довольно долго в некоторых странах, например в Испании, продолжали работать с символами ~р и ~т (начальные от plus и minus). Использование знака х для умножения приписывается Отреду, изобретателю логарифмической линейки.

Черта для обозначения деления считается арабским изобретением, а Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250) распространил его по Европе. Любопытно, что только в XIX веке английский математик Огастес де Морган (1806-1871) начал использовать вариант α/b, исходя из интересов книгопечатания, поскольку в изданиях выражение

a/b

занимает три строчки, в то время как предыдущее — только одну.

Ньютон был первым, кто применил степени для представления дробей и корней. Так, он использовал а -1для обозначения

1/a

и а 3/5— для 5√а 3. Символ √ для корней — как деформация буквы r — начал использоваться в XVI веке.

Англичанин Роберт Рекорд (1510-1558) первым ввел символ =, поскольку считал, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии. Однако потребовался почти век, чтобы этот знак приняли в качестве распространенного символа. Декарт, например, пользовался символом ∞ (у его символа раскрытие было слева). Символы < и > для обозначения меньшего и большего появились только в начале XVII века благодаря англичанину Томасу Хэрриоту (1560-1621).

Другим важным элементом вычисления было понятие функции. Французу Николаю Орезмскому приписывают авторство примитивного понятия функции, которую он определял так: "Все, что варьирует, вне зависимости от того, можно ли это измерить, можно вообразить в виде непрерывной величины, представленной отрезком". Именно Декарт начал работать с данным понятием как с отношением между двумя переменными, которое можно представить в виде кривой. С него, кстати, пошла традиция пользовался первыми буквами алфавита для обозначения констант и последними — для переменных, как мы это делаем и сегодня.

Первое ясное представление о функциональном отношении появилось благодаря шотландцу Джеймсу Грегори, который указывал, что переменная зависит от нескольких выражений, если ее можно получить из них с помощью любой вообразимой операции.

Лейбниц очень осторожно относился к выбранной записи и посвящал много времени ее совершенствованию. Он был первым, кто начал использовать точку (·) для обозначения действия умножения, поскольку символ х можно перепутать с переменной.

Лейбниц также был первым, кто стал использовать символ : для деления — из тех же соображений, которыми позже руководствовался Морган. Он писал:

"а, деленное на b, обычно обозначают

a/b

однако очень часто предпочтительно избегать этого и продолжать в том же абзаце, воспользовавшись вставкой двух точек; то есть

а : b обозначает а, деленное на b".

Швейцарец Иоганн Генрих Ран за несколько лет до этого применил знак для обозначения деления. Данный символ прижился в Англии и используется в англо-саксонских странах, в то время как в большинстве других стран принято обозначение Лейбница.

Лейбниц также был первым человеком, употреблявшим слово функция в своих работах, хотя это еще было не то же самое понятие, которое подразумеваем мы. Именно Иоганн Бернулли первым использовал это слово и дал ему конкретное определение: "Функция переменной определяется как величина, состоящая неким образом из переменной и констант"; под "неким образом" предполагается как "алгебраически", так и "трансцендентно". Кроме того, он был первым, кто использовал слова константа, переменная и параметр.

Лейбниц начал пользоваться аббревиатурой omnдля вычисления интеграла. Это слово применял Кавальери, оно происходит от латинского omnia lineas (все линии), поскольку площадь интеграла складывается из множества линий, являющихся неделимыми. В рукописи 1675 года Лейбниц решил заменить omnсимволом, который мы используем сегодня: ∫. Однако впервые слово интеграл ввел Якоб Бернулли — в первой статье, где был представлен его анализ (напечатана в "Актах ученых" в 1690 году).