Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Какое значение могут иметь жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики.

Давид Гильберт об интуиционистской школе

Все очевидцы говорят, что именно в этот момент неизвестный молодой математик скромно поднял руку, прося слова. Он был худым, носил очки и, похоже, очень нервничал. Этот молодой человек, Курт Гёдель, объявил, что доказал следующую теорему: если требуется, чтобы доказательства проверялись механически, то невозможно задать аксиомы арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории; всегда будут истинные утверждения, которые будет невозможно доказать на основе предложенных аксиом. (Сегодня это утверждение известно как первая теорема Гёделя о неполноте.) Более того, если предложенные аксиомы позволяют доказать довольно обширную часть арифметических истин, то невозможно проверить их непротиворечивость механическими методами. (Это вторая теорема Гёделя о неполноте.) Другими словами, программа Гильберта абсолютно нереализуема.

Мы можем представить себе сцену, которой на самом деле не было, но которая отражает состояние духа формалистов в тот воскресный вечер. Представим себе, что Гильберт звонит по телефону Джону фон Нейману, чтобы спросить его, как все прошло, и тот отвечает: «У меня одна хорошая новость и одна плохая. Хорошая — интуиционисты сдались. Плохая — Гёдель говорит, что и мы проиграли».

Как Гёделю удалось доказать свою теорему? Как можно доказать, что, независимо от предлагаемых аксиом, всегда будет существовать утверждение истинное, но недоказуемое на их основе? Доказательство Гёделя, один из самых больших интеллектуальных подвигов XX века, будет центральной темой следующей главы.

В первой теореме Гёделя о неполноте говорится, что при любом заданном множестве аксиом арифметики всегда будет существовать истинное арифметическое высказывание, которое невозможно доказать на основе этих аксиом, если пользоваться только теми методами доказательства, которые удовлетворяют программе Гильберта. Доказательство этой теоремы, по сути, состоит в том, чтобы получить самореферентное высказывание, которое говорит о себе: «Я недоказуемо».

После окончания Первой мировой войны Австро-Венгерская империя была разделена на части. Некоторые из них, такие как Австрия, Венгрия, Югославия и Чехословакия, стали отдельными странами. Другие вошли в состав уже существовавших государств, таких как Италия или Румыния. После этого раздела город Брно, в котором жила семья Гёделя, был присоединен к Чехословакии. Курт вспоминал, что с этого момента его отец всегда чувствовал себя австрийцем в изгнании. Возможно, это ощущение в какой-то степени повлияло на решение послать обоих сыновей учиться в Венский университет, чтобы они хотя бы таким образом могли вернуться на родину.

Гёдель поступил в Венский университет в 1923 году с намерением изучать физику. Можно предположить, что врожденное любопытство с самого раннего детства привело его к вопросам о том, почему вещи, подброшенные вверх, падают, или почему некоторые предметы плавают, а другие нет, или почему светит Солнце, — все они связаны с физикой. Однако основная причина, по которой он решил посвятить себя этой науке, по- видимому, сформировалась, когда Гёделю было 15 лет, после того как он прочитал о теории цвета Гёте и о противостоянии подходу Ньютона.

Очень мало известно о личной жизни Гёделя в студенческие годы. Он едва не женился на женщине, которая была на десять лет его старше, но родители воспротивились, и Курт отказался от своего намерения. Нет информации о других личных отношениях или близкой дружбе. По-видимому, юноша посвящал большую часть времени учебе. Но в университете его намерение посвятить себя физике вскоре пропало. В те годы в Вене преподавал Филипп Фуртвенглер, немецкий математик, специализировавшийся на высшей арифметике. Он родился в 1869 году в Эльце (Германия), в 1896-м защитил докторскую диссертацию в Геттингене под руководством Феликса Клейна, одного из самых выдающихся математиков конца XIX века.

Занятия Филиппа Фуртвенглера отличались блеском и ясностью. Число студентов, которые записывались на его курс, было таким большим (оно доходило до 400 человек одновременно), что ученики были вынуждены делиться на две группы, и урок проводился дважды, для каждой из них. У Фуртвенглера был поперечный паралич, и он со своего кресла на колесах диктовал помощнику, что тот должен написать на доске.

Иоганн Вольфганг фон Гёте (1749- 1832) — немецкий романист, драматург и поэт, один из главных представителей романтизма. Помимо литературного творчества, Гёте также занимался наукой и стал автором работ по физике, зоологии и ботанике.

Многие его идеи вызвали споры, некоторые из них разрешились в последующие десятилетия. Например, его классификация растений и понятия о морфологии животных были использованы Чарльзом Дарвином и другими натуралистами XIX века. В книге Zur Farbenlehre («К теории цвета»), написанной в 1810 году, Гёте утверждал, что изучение цвета не должно сводиться к физическим аспектам света, но также должно включать в себя размышления о человеческом восприятии. Для Гёте оптика Ньютона была неполной и представляла собой только частный случай в рамках его собственной теории. Идеи Гёте о свете не заинтересовали физиков его времени; обычно они даже не включаются в работы по истории науки. Однако сегодня признано, что Гёте был прав, различая оптический аспект в том виде, как его изучал Ньютон, и более широкое явление — восприятие цветов человеком.

Портрет Гёте руки немецкого художника Йозефа Карла Штилера.

На юного Курта так подействовали занятия Фуртвенглера, что он оставил решение изучать физику и обратился к математике. Это, без сомнения, выдающийся пример того, как преподаватель может повлиять на жизнь ученика. Только через 25 лет в Принстоне у Гёделя появится возможность вспомнить о своей любви к физике. В 1949 и 1950 годах он опубликовал две важные работы по теории относительности — эти труды Гёделя, единственные не связанные с математической логикой, безусловно, стали результатом его бесед с Эйнштейном.

Небольшое совпадение: Филипп Фуртвенглер закончил обучение в Геттингене в 1896 году и оставался там до 1912-го, когда переехал в Венский университет. Между тем в 1895 году в Геттинген прибыл Давид Гильберт, считавшийся молодой надеждой немецкой математики. Хотя точных сведений об этом нет, мы уверены, что они были знакомы — Филипп Фуртвенглер, благодаря которому Гёдель посвятил себя математике, и Давид Гильберт, чья математическая работа 1920-х годов была «разрушена» теоремами Гёделя. Узнал ли когда-нибудь Фуртвенглер, что именно он вдохновил Гёделя посвятить себя математике? Нам это неизвестно.