Luis Alvarez - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Есть некая справедливость в том, что человек, который опроверг Ферма с его простыми числами, сам был, в свою очередь, опровергнут.

Но в 1983 году немецкий исследователь по имени Герд Фальтингс совершил гигантский прорыв, доказав, что если и существуют натуральные решения уравнения Ферма, то их число конечно. Это не доказывало теоремы, в которой говорится, что число решений равно нулю, но это был значительный прогресс. Будем осторожны и проясним, что конечное число решении может быть равно 1010 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, так называемому "числу Скьюза", связанному с распределением простых чисел. Речь идет о невообразимо большом числе, намного большем, чем количество частиц во Вселенной, или даже большем, чем число возможных взаимодействий между этими частицами. Годфри Харди назвал его "самым большим числом, которое когда-либо имело применение в математике".

Метод Фальтингса основывался на дифференциальной геометрии. Она изучает, в общих чертах, обобщенные кривые и геометрические поверхности, используя для этого такие инструменты исчисления, как дифференцирование и интегрирование. Группа советских исследователей в 1970-х годах поняла, что можно связать некоторые проблемы теории чисел, то есть теории, к которой принадлежит теорема Ферма, с некоторыми проблемами дифференциальной геометрии. Эти исследователи построили мост между двумя островами, очень далекими друг от друга, соединяя специалистов, ранее не взаимодействовавших между собой.

Фальтингс связал уравнение Ферма (xn + yn = zn) с различными поверхностями в области дифференциальной геометрии, по одной для каждого значения n. Такие поверхности похожи на бублики, только вместо одной дырки в центре у них много дыр. Чем больше п, тем больше дыр. Фальтингс связал возможность существования более чем одной дыры с тем фактом, что у соответствующего уравнения Ферма есть конечное число решений. Это был большой шаг, но все еще недостаточный.

Возвращаясь к Великой теореме, никто не представлял себе, какие сюрпризы она может преподнести. Если математик эпохи Ферма работал с близкими нам элементами, такими как круги или простые числа, то исследователи последующих эпох стали создавать каждый раз все более любопытные элементы и пытались понять законы, которые регулируют их поведение.

Эллиптические кривые для с = 0 и различных значений a и b.

В этом месте повествования важно не расстраиваться, если не удастся понять сложных математических теорий, которые используются для того, чтобы "снести стену". Никакой неспециалист не может точно понять их. На самом деле только профессиональный ученый способен детально рассмотреть эти аргументы. Как бы то ни было, математики создали теорию, устанавливающую определенное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными функциями.

Эллиптические кривые того типа, который нас здесь интересует (см. рисунок), — это просто уравнения вида: у 2= х 3+ ax 2+ bх + с; где а, b и с — целые числа. На самом деле они не эллипсы; своим названием кривые обязаны тому, что в прошлом их использовали для изучения траекторий планет. А модулярные функции, наоборот, несколько более странные "существа". Они обитают в том, что называется гиперболическим пространством, в котором у нас есть две оси, но они обе образованы комплексными числами. Вследствие этого, поскольку любое комплексное число имеет действительную и мнимую части, гиперболическое пространство на самом деле имеет четыре координаты. Поскольку наше несовершенное зрение ограничивается тремя пространственными координатами, мы не можем представить наглядно модулярную функцию. Итак, скажем, что модулярная функция является математическим объектом, существующим в гиперболическом пространстве и имеющим некоторые свойства. Одно из них — то, что их мнимая часть положительна, поэтому наши объекты находятся в верхней части пространства. Другие свойства не так просто описать, и мы опустим их в нашем изложении.

Итак, у каждой модулярной функции есть, по образному выражению Симона Сингха, ДНК — ряд чисел, которые полностью ее описывают и которые мы назовем М 1, М 2... М n. Аналогично, у каждой эллиптической кривой есть, в свою очередь, другое ДНК, которое мы назовем E 1, Е 2, ... E n.

Еще в первой половине XX века обе области (изучение эллиптических кривых и модулярных функций) были подобны изолированным отсекам, не имеющим между собой ни малейшей связи. Следуя традиции специализации в математике, которая начиная с XIX века стала еще более ярко выраженной, те, кто занимался одной ее областью, не имели ни малейшего понятия о другой.

Но японские математики Ютака Танияма (1927-1958) и его друг Горо Симура вывели удивительный результат: каждой эллиптической кривой соответствует модулярная функция, и наоборот. ДНК полностью взаимозаменяемые. Последовательность М модулярной функции равна последовательности Е эллиптической кривой, и наоборот.

Они не могли доказать эту гипотезу, когда сформулировали ее в послевоенной Японии, но были убеждены в ее истинности. На вопрос своего коллеги, утверждает ли он, что некоторые эллиптические кривые имеют соответствующую модулярную функцию, Симура ответил: "Нет, я утверждаю, что она есть у них у всех".

Гипотеза была красивой, поскольку она, словно мост между двумя мирами, соединяла две внешне чуждые области. Если гипотеза верна, это означало, что любая теорема, истинная для модулярных функций, верна и для эллиптических кривых, и наоборот. Красота гипотезы состоит не только в том, что экономится половина усилий, но и в том, что иногда доказательство намного более достижимо в одном из миров, чем в другом. Гипотеза завораживала математиков в течение десятилетий... Но, как это произошло и с Великой теоремой Ферма, она сопротивлялась всем попыткам доказать ее.

Верно, что исследователи рассмотрели огромное число частных случаев и во всех из них гипотеза выполнялась; но этого было не достаточно для доказательства. Однако исследователи начали изучать следствия из нее, как если бы она была верной, и получили огромное количество фантастических результатов. Гипотеза была очень плодотворной. Если бы она только была истинной... Все эти результаты можно сравнить с ветками, отделенными от дерева математики, так как они основывались на недоказанной гипотезе. Однако мир, частица которого была видна из-за представшей перед учеными стены, представлялся фантастическим.

Через несколько лет, в середине 1980-х годов, немецкий математик Герхард Фрай заявил, что Великая теорема Ферма может быть записана в виде эллиптической кривой. Но это была бы очень особенная эллиптическая кривая. Если бы она существовала на самом деле, ее последовательность Е была бы такой странной, чтобы было бы невозможно существование модулярной функции с такой же последовательностью А/. Действительно, если бы существовала эллиптическая кривая Фрая, то для гипотезы Таниямы — Симуры нашелся бы контрпример и, следовательно, она являлась бы ложной. Ложность Великой теоремы предполагает ложность гипотезы Таниямы — Симуры, следовательно, истинность гипотезы Таниямы — Симуры предполагает истинность теоремы Ферма. Фраю не удалось доказать свою гипотезу, однако позднее это сделал американский математик Кен Рибет.